深さに応じた流体の圧力を算出する公式
公式
液体の表面から垂直距離$h$のところの圧力、つまり深さが$h$の場所の液体の圧力$P_{h}$は、以下の通りである。
$$ P_{h}=P_{0}+\rho g h $$
この時、$P_{0}$は大気圧、$\rho$は物体の密度、$g$は重力加速度である。
説明
この公式は静的な状況にのみ適用される。流れている（速度がある）液体には適用されない。また、この内容は液体を入れている容器の形状に関係なく適用される。つまり、深さによる圧力は容器の形状に無関係である。
導出
深さが$h$の場所にある物体が平衡状態で沈んでいるとしよう。この物体の各面で受ける圧力を通じて、深さに応じた液体の圧力を求めることができる。まず、物体に作用するすべての力を探そう。
- 重力$(\downarrow)$
- 上面に作用する力$(\downarrow)$
- 下面に作用する力$(\uparrow)$
- 側面に作用する力$(\rightarrow \leftarrow)$
まず、水平方向を考えてみよう。水平方向に作用する力は、物体の側面に作用する力しかない。したがって、物体が平衡状態にあるため、一方の側面に作用する力は反対側から作用する力と正確に反対である。つまり、深さ$h$の場所で受ける水平方向への圧力の合計は$0$である。例の図は長方形だが、一般的に物体の側面の形状に関係ない。
次に、垂直方向を考えてみよう。水平方向とは異なり、上面、下面に作用する力とともに、重力も存在する。まず、重力が作用する方向を$+$方向と定義しよう。物体の質量は体積$\times$密度なので、物体の密度を$\rho$とすると物体の質量は$m=\rho Ad$。したがって、重力は$mg=\rho Ad g$。上面に作用する力は$P_{h_{1}}A$（力は圧力$\times$面積なので）。下面に作用する力は$-P_{h_{2}}A$。物体は平衡状態にあるので、三つの力をすべて加えると$0$になる。
$$ \rho Ad g + P_{h_{1}}A - P_{h_{2}}A=0 $$
式全体を$A$で割り、$P_{h_{2}}$に関して整理すると、
$$ P_{h_{2}}=\rho dg + P_{h_{1}} \tag{1} $$
この時点で、上の図から$h_{1}=0$と$h_{2}=h$を代入すると$d=h_{2}-h_{1}=h$であり、結果的に$(1)$は
$$ P_{h}=\rho hg + P_{0} $$
$$ \implies P_{h}=P_{0} + \rho gh $$
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