📂複素解析

エーネストローム-カケヤ定理の証明

定理 ¹

$\left\{ a_{i} \right\}_{i=0}^{n} \subset \mathbb{R}$ で $a_0 > a_1 > \cdots > a_n > 0$ としましょう。すると、多項関数 $$ P(z) := a_0 + a_1 z + \cdots + a_{n-1} z^{n-1} + a_n z^n $$ において、あらゆる根 $z \in \mathbb{C}$ は $|z| \ge 1$ を満たします。

証明

もし $P(z) = 0$ の根が $z=1$ である場合、$\displaystyle 0 = P(1) = \sum_{i=0}^{n} a_{i} > 0$ より、根は $z \ne 1$ でなければなりません。式 $P(z) = 0$ の両辺に $z$ を乗じて元の式から引き、$a_0$ を以下のように表せます。 $$ a_0 = (1-z)P(z) + (a_0 - a_1) z + \cdots + (a_{n-1} - a_n) z^n + a_n z^{n+1} $$ ここで、$P(z) = 0$ の根 $z \ne 1$ で $|z| < 1$ を仮定してみると、$a_0 > a_1 > \cdots > a_n > 0$ より $$ \begin{align*} & |a_0| < |(1-z)P(z)| + (a_0 - a_1) + \cdots + (a_{n-1} - a_n) + a_n \\ \implies& |a_0| < |(1-z)P(z)| + a_0 + (- a_1 + a_1) + \cdots + (- a_{n-1} + a_{n-1} )+ (- a_n + a_n ) \\ \implies& a_0 = |a_0| < |(1-z)P(z)| + a_0 \\ \implies& 0 < |(1-z)P(z)| \end{align*} $$ ですが、$z \ne 1$ が $P(z) = 0$ の根であることを仮定しているので、以下の矛盾が生じます。 $$ 0 < |(1-z)P(z)| = 0 $$ これは、$| z | < 1$ という仮定が誤りであることを意味し、結果として $|z | \ge 1$ でなければなりません。

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