📂測度論

ルベーグ測度

定義 ¹

$E \in \mathcal{M}$に関して、関数$m : \mathcal{M} \to [0,\infty]$を$m(E) := m^{ \ast } (E)$のように定義しよう。$m$を**(ルベーグ)測度**という。

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• $\mathcal{M}$は$X = \mathbb{R}$の可測集合の集合であるシグマ代数だ。
• $m^{\ast}$は外測度だ。

説明

外測度は$m^{ \ast } : \mathscr{P}( \mathbb{R} ) \to [0, \infty]$によってきれいに定義されたが、長さの一般化としては物足りなかった。その代わり実数のシグマ-フィールドに定義域を制限することで、理想的な’長さの一般化’を完成させた。これはカラテオドリ条件を満たすために条件的に一歩下がると見ることができる。

もちろん、一般的な測度と比較してみると、$X = \mathbb{R}$での特別な例である。

基本的な性質

$A, B, E \in \mathcal{M}$とすべての$n \in \mathbb{N}$に対して$A_{n}, B_{n}, \in \mathcal{M}$とする。測度は以下の性質を持つ。

• [1]: $$A \subset B \implies m(A) \le m(B)$$
• [2]: $A \subset B$の場合、$$m(A) < \infty \implies m(B \setminus A) = m(B) - m(A)$$
• [3]: $$t \in \mathbb{R} \implies m(E) = m(E + t)$$
• [4]: $$m(A \triangle B) = 0 \implies B \in \mathcal{M} \\ m(A) = m(B)$$
• [5]: すべての$\varepsilon > 0, A \subset \mathbb{R}$に対して、以下を満たす開集合の$O$が存在する。 $$A \subset O \\ m(O) \le m^{ \ast }(A) + \varepsilon$$
• [6]: すべての$A \subset \mathbb{R}$に対して、以下を満たす開集合の数列$\left\{ O_{n} \right\}$が存在する。 $$A \subset \bigcap_{n} O_{n} \\ m \left( \bigcap_{n} O_{n} \right) = m^{ \ast }(A)$$
• [7]: $$\displaystyle A_{n} \subset A_{n+1} \implies m \left( \bigcup_{n=1}^{\infty} A_{n} \right) = \lim_{n \to \infty} m (A_{n})$$
• [8]: $A_{n+1} \subset A_{n}$の場合、$$\displaystyle m(A_{1}) < \infty \implies m \left( \bigcap_{n=1}^{\infty} A_{n} \right) = \lim_{n \to \infty} m (A_{n})$$
• [9]: $$\displaystyle m \left( \bigsqcup_{i=1}^{n} A_{i} \right) = \sum_{i = 1}^{n} m (A_{i})$$
• [11]: $$B_{n} \to \emptyset \implies m(B_{n}) \to 0$$

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• $A \triangle B = ( A \setminus B ) \cup ( B \setminus A )$が真である。

証明

[1]

$m = m^{ \ast } |_{\mathcal{M}}$より、外測度の性質から自然に導かれる。

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[2]

まず、$(B \setminus A) \in \mathcal{M}$を証明する必要がある。$(B \setminus A) = B \cap (\mathbb{R} \setminus A) = B \cap A^{c}$であり、$A \in \mathcal{M}$であるから$A^{c} \in \mathcal{M}$だ。したがって、$(B \setminus A) \in \mathcal{M}$であり、$(B \setminus A ) \cap A = \emptyset$かつ$(B \setminus A ) \cup A = B$であるから$m(B \setminus A ) + m(A) = m(B)$となる。仮定から$m(A) < \infty$であったので、両辺すると$m(B \setminus A) = m(B) - m(A)$を得る。

■

[3]

$m = m^{ \ast } |_{\mathcal{M}}$より、外測度の性質から自然に導かれる。

■

[4]

$B = (A \cap B) \cup (B \setminus A) = A \setminus (A \setminus B) \cup (B \setminus A)$より、$B \in \mathcal{M}$である。一方で$m(A \triangle B) = 0$より、$m(A \setminus B) = 0$かつ$m(B \setminus A) = 0$だ。したがって、 $$m(B) = m( B \setminus A) + m(B \cap A) = m( A \setminus B) + m(A \cap B) = m(A)$$

■

[7]

$B_{n} :=A_{n} \setminus A_{n-1}$とすると、$i \ne j$に対して$B_{i} \cap B_{j} = \emptyset$かつ$\displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty} A_{n} = \bigsqcup_{n=1}^{\infty} B_{n}$である。したがって、 $$m \left( \bigcup_{n=1}^{\infty} A_{n} \right) = m \left( \bigsqcup_{n=1}^{\infty} B_{n} \right) = \sum_{n=1}^{\infty} m(B_{n}) = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} m(B_{k}) = \lim_{n \to \infty} m \left( \bigsqcup_{k=1}^{n} B_{k} \right) = \lim_{n \to \infty} m \left( A_{n} \right)$$

■

[8]

$(A_{1} \setminus A_{n} ) \subset (A_{1} \setminus A_{n+1} )$より、**[7]**によって $$m \left( \bigcup_{n=1}^{\infty} ( A_{1} \setminus A_{n} ) \right) = \lim_{ n \to \infty} m (A_{1} \setminus A_{n})$$ $m(A_{n}) < \infty$より、[3]によって $$m (A_{1} \setminus A_{n}) = m(A_{1}) - m(A_{n})$$ 一方、$\displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty} (A_{1} \setminus A_{n}) = A_{1} \setminus \bigcap_{n=1}^{\infty} A_{n}$より、 $$m \left( \bigcup_{n=1}^{\infty} (A_{1} \setminus A_{n}) \right) = m \left( A_{1} \right) - m \left( \bigcap_{n=1}^{\infty} A_{n} \right)$$ 整理すると、 $$m \left( \bigcup_{n=1}^{\infty} (A_{1} \setminus A_{n}) \right) = m(A_{1}) - \lim_{n \to \infty} m(A_{n}) = m \left( A_{1} \right) - m \left( \bigcap_{n=1}^{\infty} A_{n} \right)$$ したがって$\displaystyle \lim_{n \to \infty} m(A_{n}) = m \left( \bigcap_{n=1}^{\infty} A_{n} \right)$

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一般化

• 測度の一般化