位相空間におけるコンパクトとプレコンパクトとは？
## 定義 [^1]
[^1]: Munkres. (2000). Topology(2nd Edition): p164.
[位相空間](../398) $\left( X, \mathscr{T} \right)$ に対して $A \subset X$ としよう。
1. $X$ の開集合から成る集合 $\mathscr{O} \subset \mathscr{T}$ が次を満たすとき、$\mathscr{O}$ を $A$ の **オープンカバー**<sup>open covering</sup> と呼ぶ。
$$
A \subset \bigcup\_{O \in \mathscr{O}} O
$$
2. $\mathscr{O} \' \subset \mathscr{O}$ である $\mathscr{O} \' $ を $\mathscr{O}$ の **部分カバー**<sup>subcover</sup> と呼ぶ。特に $\mathscr{O} \' $ の [基数](../1395) が自然数であるとき **有限部分カバー**<sup>finite subcover</sup> と呼ぶ。
3. $X$ のすべての開カバーが有限部分カバーを持つとき、$X$ は **コンパクト** だと言う。つまり、すべての開カバー $\mathscr{O}$ に対して次を満たす有限集合 $\mathscr{O} \' = \left\\{ O\_{1} , \cdots , O\_{n} \right\\} \subset \mathscr{O}$ が存在するとき $X$ はコンパクトである。
$$
X = \bigcup\_{i=1}^{n} O\_{i}
$$
4. $A$ が $X$ の部分空間としてコンパクトであるとき、$A$ は **コンパクト** だと言う。
5. $X$ を [位相空間](../398) としよう。部分集合 $K \subset X$ の閉包 $\overline{K}$ がコンパクトであるとき、$K$ は **プレコンパクト**、または **相対的コンパクト**<sup>relatively compact</sup> だと言う。
## 説明
### コンパクト
[解析概論](../../categories/解析概論)で **コンパクト** という条件がどれほど有用であったかを考えると、その一般化を追求することは当然と言えるだろう。一般化されることで、言葉が難しくなってしまったが、本質的な部分は変わっていない。
実際にコンパクトはさまざまな理論で非常に重要に応用される。ある集合がコンパクトであるということは有限の部分に分けて考えることができるため、厳密さを要求される証明において良い条件となるに違いない。逆に言えば、ある定理を証明する際に登場する集合 $A$ が本当にコンパクトであることを示すことが鍵になる場合が非常に多い。
### プレコンパクト
**プレコンパクト** は $K$ 自体がコンパクトではないかもしれないが、閉包を取ればコンパクトになるという点で「まだコンパクトではないが、間もなくコンパクトになり得る」という概念をよく説明している。距離空間では [完全有界空間](../1420) とも呼ばれ、もう一つの名称である **相対的コンパクト** は閉鎖自体が相対的という表現に由来する。$K$ を $X$ の部分空間ではなく、全体空間とするならば $K$ は $K$ で閉じているので $K = \overline{K}$ であり、それにより $\overline{K}$ がコンパクトということは即ち $K$ が（相対的に）コンパクトということになる。
一方、[数列の表示によってプレコンパクトを定義](../1436)することもできる。その時の定義は次のようになる：
> $K \subset X$ がプレコンパクトであるというのは $K$ で定義されたすべての数列 $\left\\{ x\_{n} \right\\} \subset K$ に対して $x \in X$ に収束する部分列 $\left\\{ x\_{n \'} \right\\} \subset \left\\{ x\_{n} \right\\}$ が存在することである。
数式で再度表現すると次のようになる：
> $$
> K : \text{precompact} \iff \forall \left\\{ x\_{n} \right\\} \subset K, \exists \left\\{ x\_{n \'} \right\\} \subset \left\\{ x\_{n} \right\\} : x\_{n \'} \to x \in X \text{ as } n \to \infty
> $$
特に条件で $x \in X$ ではなく $x \in K$ の場合 $K$ を **点列コンパクト**<sup>sequentially compact</sup> であるという。
## 定理
- [1]: $A$ がコンパクトであることは $A$ のすべての開カバーが有限部分カバーを持つことと同値である。
- [2]: コンパクト集合 $K$ の部分集合 $F$ が閉集合であるならば $F$ はコンパクト集合である。
- [3]: $X$ がコンパクトであることは $X$ の閉集合たちだけを含むすべての集合族が有限交叉性を持つ場合、単純に交わっても空集合でないことと同値である。
## 証明
### [1]
$\Gamma$ は [インデックス集合](../1358) である。
---
$( \implies )$
$A \subset X$ がコンパクトで $\mathscr{U} := \left\\{ U\_{\alpha} : \alpha \in \Gamma \right\\}$ が $A$ のオープンカバーであるとしよう。すると $U\_{\alpha} \cap A$ は $X$ の部分空間 $A$ で開集合であり、$\mathscr{O} := \left\\{ U\_{\alpha} \cap A : U\_{\alpha} \in \mathscr{U} \right\\}$ は $A$ のオープンカバーになる。$A$ はコンパクトなので $\displaystyle A \subset \bigcup\_{i=1}^{n} \left( U\_{\alpha\_{i}} \cap A \right)$ を満たす $\alpha\_{1} , \cdots , \alpha\_{n} \in \Gamma$ が存在する。すると $\left\\{ U\_{\alpha\_{1}} , \cdots , U\_{\alpha\_{n}} \right\\}$ は $\mathscr{U}$ の有限部分カバーとして存在することを確認できる。
---
$( \impliedby )$
$A$ で開集合から成る開カバー $\mathscr{O} := \left\\{ O\_{\alpha} : O\_{\alpha} \text{ is open in } A, \alpha \in \Gamma \right\\}$ を考えてみよう。$O\_{\alpha}$ が $A$ で開集合なので、それぞれの $\alpha \in \Gamma$ に対して $U\_{\alpha} \cap A = O\_{\alpha}$ を満たす開集合 $U\_{\alpha}$ が存在する。これらの集合 $\mathscr{U} := \left\\{ U\_{\alpha} : \alpha \in \Gamma \right\\}$ は $A$ の開カバーだ。仮定としてすべての開カバーが有限部分カバー $\left\\{ U\_{\alpha\_{1}} , \cdots , U\_{\alpha\_{n}} \right\\}$ を持つので $\left\\{ O\_{\alpha\_{1}} , \cdots , O\_{\alpha\_{n}} \right\\}$ は $\mathscr{O}$ の有限部分カバーとなる。
■
### [2]
$$
F \subset K \subset X
$$
$F$ は $X$ で閉集合であり $F$ の開カバーを $\left\\{ U\_{\alpha} \right\\}\_{\alpha}$ 、$K$ はコンパクトであるとしよう。$F$ は閉集合なので $F^{c}$ は $X$ で開集合となり、したがって $\left\\{ F^{c} \right\\} \cup \left\\{ U\_{\alpha} \right\\}\_{\alpha}$ も $K$ の開カバーの一つになる。$K$ はコンパクトなので $F \subset K \subset \Phi$ を満たす $\left\\{ F^{c} \right\\} \cup \left\\{ U\_{\alpha} \right\\}\_{\alpha}$ の有限部分カバー $\Phi$ が存在する。
- もし $F^{c}\notin \Phi$ であれば $\Phi$ は $\left\\{ U\_{\alpha} \right\\}\_{\alpha}$ の有限部分カバーとなるので $F$ はコンパクトである。
- もし $F^{c}\in \Phi$ であれば $\Phi \setminus \left\\{ F^{c} \right\\}$ が $\left\\{ U\_{\alpha} \right\\}\_{\alpha}$ の有限部分カバーとなるので $F$ はコンパクトである。
可能な二つのケースのどちらでも $F$ がコンパクトなので $F$ はコンパクトである。
■
### [3]
戦略：説明が非常に複雑なため、理解自体が鍵となる。$\mathscr{C}$ が有限交叉性を持っているからといって $\displaystyle \bigcap\_{C \in \mathscr{C}} C \ne \emptyset$ が保証されるわけではなく、コンパクトという条件が必要である。一方でコンパクトの定義では開集合の [和集合](../1344) を考え、本文の定理では閉集合の交叉を考えていることに注目する必要がある。こうした考察をもとに有限交叉性がどのようにコンパクトと関係を持っているか感じ取って証明に入るべきである。
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$\Gamma$ は [インデックス集合](../1358) である。
> [有限交叉性](../502): $X$ の部分集合から成る [集合族](../1358) $\mathscr{A} \subset \mathscr{P}(X)$ が有限交叉性(f.i.p, finite intersection property)を持つというのは $\mathscr{A}$ のすべての有限部分集合 $A \subset \mathscr{A}$ を [交叉](../1341) したときに空集合でないことである。数式にすると次のようになる。
> $$
> \forall A \subset \mathscr{A}, \bigcap\_{a \in A} a \ne \emptyset
> $$
---
$( \implies )$
$X$ がコンパクトで $\mathscr{C} := \left\\{ C\_{\alpha} : C\_{\alpha} \text{ is closed in } X, \alpha \in \Gamma \right\\}$ が有限交叉性を持つとしよう。そして $\displaystyle \bigcap\_{\alpha \in \Gamma} C\_{\alpha} = \emptyset$ と仮定して $\mathscr{O} := \left\\{ X \setminus C\_{\alpha} : C\_{\alpha} \in \mathscr{C} \right\\}$ を考えよう。すると
$$
\begin{align*}
\bigcup\_{\alpha \in \Gamma} ( X \setminus C\_{\alpha}) =& X \setminus \bigcap\_{\alpha \in \Gamma} C\_{\alpha}
\\\ =& X \setminus \emptyset
\\\ =& X
\end{align*}
$$
よって $\mathscr{O}$ は $X$ の開カバーとなる。$X$ はコンパクトなので、$\mathscr{O}$ は有限部分カバー $\displaystyle \left\\{ (X \setminus C\_{\alpha\_{1}}) , \cdots ,(X \setminus C\_{\alpha\_{n}}) \right\\}$ を持つ。これは再び
$$
X = \bigcup\_{i=1}^{n} ( X \setminus C\_{\alpha\_{i}}) = X \setminus \bigcap\_{i=1}^{n} C\_{\alpha\_{i}}
$$
であるから、$\displaystyle \bigcap\_{i=1}^{n} C\_{\alpha\_{i}} = \emptyset$ を意味する。これは $\mathscr{C}$ が有限交叉性を持つという仮定に矛盾する。したがって $\displaystyle \bigcap\_{C \in \mathscr{C}} C \ne \emptyset$ でなければならない。
---
$( \impliedby )$
$X$ の開カバー $\mathscr{O} := \left\\{ O\_{\alpha} : O\_{\alpha} \text{ is open in } A, \alpha \in \Gamma \right\\}$ と $\mathscr{C} := \left\\{ X \setminus O\_{\alpha} : O\_{\alpha} \in \mathscr{O} \right\\}$ を考えてみよう。
$$
\begin{align*}
\bigcap\_{\alpha \in \Gamma} C\_{\alpha} &= \bigcap\_{\alpha \in \Gamma} ( X \setminus O\_{\alpha})
\\\ =& X \setminus \bigcup\_{\alpha \in \Gamma} O\_{\alpha}
\\\ =& X \setminus X
\\\ =& \emptyset
\end{align*}
$$
よって [対偶法](../116) により $\mathscr{C}$ は有限交叉性を持たない。これは再び $\displaystyle \bigcap\_{i=1}^{n} C\_{\alpha\_{i}} = \emptyset$ を満たす $C\_{\alpha\_{1}} , \cdots , C\_{\alpha\_{n}} \in \mathscr{C}$ が存在することを意味する。すると
$$
\begin{align*}
X \setminus \bigcup\_{i=1}^{n} O\_{i} =& X \setminus \bigcup\_{i=1}^{n} (X \setminus C\_{i})
\\\ =& X \setminus \left( X \setminus \bigcap\_{i=1}^{n} C\_{i} \right)
\\\ =& \bigcap\_{i=1}^{n} C\_{i}
\\\ =& \emptyset
\end{align*}
$$
なので $\displaystyle X = \bigcup\_{i=1}^{n} O\_{i}$ である。つまり開カバー $\mathscr{O}$ に対して有限部分カバーが存在するのでコンパクトとなる。
■
## 参考
- [距離空間でのコンパクト](../1705)