位相空間におけるコンパクトとプレコンパクトとは？ 📂位相幾何学

位相空間におけるコンパクトとプレコンパクトとは？

定義 ¹

位相空間 $\left( X, \mathscr{T} \right)$ に対して $A \subset X$ としよう。

$X$ の開集合からなる集合 $\mathscr{O} \subset \mathscr{T}$ が次を満たす場合、$\mathscr{O}$ を $A$ の開被覆^{open Covering}という。 $$ A \subset \bigcup_{O \in \mathscr{O}} O $$
$\mathscr{O} ' \subset \mathscr{O}$ である $\mathscr{O} ' $ を $\mathscr{O}$ の部分被覆^subcoverという。特に $\mathscr{O} ' $ の基数が自然数である場合は、有限部分被覆^{finite Subcover}という。
$X$ の全ての開被覆が有限部分被覆を持つ場合、$X$ はコンパクトであるという。言い換えると、全ての開被覆 $\mathscr{O}$ に対して、次を満たす有限集合 $\mathscr{O} ' = \left\{ O_{1} , \cdots , O_{n} \right\} \subset \mathscr{O}$ が存在する場合、$X$ はコンパクトである。 $$ X = \bigcup_{i=1}^{n} O_{i} $$
$A$ が $X$ の部分空間としてコンパクトである場合、$A$ をコンパクトであるという。
位相空間 $X$ とする。部分集合 $K \subset X$ の閉包 $\overline{K}$ がコンパクトである場合、$K$ はプリコンパクトである、あるいは相対的にコンパクト^{relatively compact}であると言う。

説明

コンパクト

解析概論でコンパクトという条件がどれほど有用であったかを考えれば、その一般化を追求することは当然と言えるだろう。一般化されると、言葉は少し難しくなるが、本質的な部分は変わらない。

実際に、コンパクトはさまざまな理論で非常に重要な応用を持つ。ある集合がコンパクトであるということは、有限の部分に分割して考えることができるということであり、厳密性が要求される証明では良い条件となる。逆に言えば、ある定理を証明する際に現れる集合 $A$ が本当にコンパクトであるかを示すことが鍵となる場合が多い。

プリコンパクト

プリコンパクトは、$K$ 自体はコンパクトではないが、$K$ に閉包を取るとコンパクトになるという点で、「まだコンパクトではないが、すぐにコンパクトになり得る」という概念をよく表している。距離空間では完全有界空間とも呼ばれ、別名相対的コンパクトは、閉じられた性質が相対的なものから来ていることを表す表現である。$K$ を $X$ の部分空間ではなく、それ自体で全体空間とした場合、$K$ は $K$ で閉じているため、$K = \overline{K}$ であり、したがって$\overline{K}$ がコンパクトであるということは、$K$ が（相対的に）コンパクトであるということになる。

一方、数列によるプリコンパクトの定義も可能である。その定義は次のようである：

$K \subset X$ がプリコンパクトであるとは、$K$ で定義された全ての数列 $\left\{ x_{n} \right\} \subset K$ に対して、$x \in X$ に収束する部分数列 $\left\{ x_{n '} \right\} \subset \left\{ x_{n} \right\}$ が存在することである。

数式で再表現すると次のようになる：

$$ K : \text{precompact} \iff \forall \left\{ x_{n} \right\} \subset K, \exists \left\{ x_{n '} \right\} \subset \left\{ x_{n} \right\} : x_{n '} \to x \in X \text{ as } n \to \infty $$

特に条件で $x \in X$ ではなく $x \in K$ の場合、$K$ を点列コンパクト^{sequentially Compact}と呼ぶ。

定理

[1]: $A$ がコンパクトであることは、$A$ の全ての開被覆が有限部分被覆を持つことと同値である。
[2]: コンパクト集合 $K$ の部分集合 $F$ が閉集合である場合、$F$ はコンパクト集合である。
[3]: $X$ がコンパクトであることは、$X$ の閉集合のみを含む全ての集合族が有限交差性を持ち、それを単に交差させても空集合にならないことと同値である。

証明

[1]

$\Gamma$ は指標集合である。

$( \implies )$

$A \subset X$ がコンパクトであり、$\mathscr{U} := \left\{ U_{\alpha} : \alpha \in \Gamma \right\}$ が $A$ の開被覆であるとする。すると、$U_{\alpha} \cap A$ は $X$ の部分空間 $A$ で開集合であり、$\mathscr{O} := \left\{ U_{\alpha} \cap A : U_{\alpha} \in \mathscr{U} \right\}$ は $A$ の開被覆となる。$A$ はコンパクトであるため、$\displaystyle A \subset \bigcup_{i=1}^{n} \left( U_{\alpha_{i}} \cap A \right)$ を満たす $\alpha_{1} , \cdots , \alpha_{n} \in \Gamma$ が存在する。したがって、$\left\{ U_{\alpha_{1}} , \cdots , U_{\alpha_{n}} \right\}$ が $\mathscr{U}$ の有限部分被覆として存在することが確認できる。

$( \impliedby )$

$A$ で開集合からなる開被覆 $\mathscr{O} := \left\{ O_{\alpha} : O_{\alpha} \text{ is open in } A, \alpha \in \Gamma \right\}$ を考える。$O_{\alpha}$ が $A$ で開集合であるため、各 $\alpha \in \Gamma$ に対して $U_{\alpha} \cap A = O_{\alpha}$ を満たす開集合 $U_{\alpha}$ が存在する。これらの集合 $\mathscr{U} := \left\{ U_{\alpha} : \alpha \in \Gamma \right\}$ は $A$ の開被覆である。全ての開被覆が有限部分被覆 $\left\{ U_{\alpha_{1}} , \cdots , U_{\alpha_{n}} \right\}$ を持つという仮定から、$\left\{ O_{\alpha_{1}} , \cdots , O_{\alpha_{n}} \right\}$ は $\mathscr{O}$ の有限部分被覆となる。

■

[2]

$$ F \subset K \subset X $$ $F$ が $X$ で閉集合であり、$K$ がコンパクトであるとする。$F$ は閉集合であるため、$F^{c}$ は $X$ で開集合であり、$K \subset F^{c}$ であるため、$F^{c} \cup \left\{ U_{\alpha} \right\}$ は $K$ の開被覆の一つとなり、$K$ がコンパクトであるため、$F \subset K \subset \Phi$ を満たす $F^{c}\cup \left\{ U_{\alpha} \right\}$ の有限部分被覆 $\Phi$ が存在する。

もし $F^{c}\notin \Phi$ であれば、$\Phi$ は $\left\{ U_{\alpha} \right\}$ の有限部分被覆となるため、$F$ はコンパクトである。
もし $F^{c}\in \Phi$ であれば、$\Phi \setminus \left\{ F^{c} \right\}$ が $\left\{ U_{\alpha} \right\}$ の有限部分被覆となるため、$F$ はコンパクトである。

どちらの場合も、$F$ はコンパクトであるため、$F$ はコンパクトである。

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[3]

戦略：言葉が非常に複雑なので、言葉を理解することが鍵である。$\mathscr{C}$ が有限交差性を持つとしても、$\displaystyle \bigcap_{C \in \mathscr{C}} C \ne \emptyset$ が保証されるわけではなく、コンパクトという条件が必要である。一方で、コンパクトの定義では開集合の和集合を考慮しており、この定理では閉集合の交差を考慮している点に注意する必要がある。これらの考察から、有限交差性がどのようにコンパクトと関連しているのかを感じ取り、証明に入る必要がある。

$\Gamma$ は指標集合である。

有限交差性: $X$ の部分集合からなる集合族 $\mathscr{A} \subset \mathscr{P}(X)$ が有限交差性(f.i.p, finite intersection property)を持つとは、$\mathscr{A}$ の全ての有限部分集合 $A \subset \mathscr{A}$ が交差を取ったときに空集合でないことである。数式で表すと、次のようになる。 $$ \forall A \subset \mathscr{A}, \bigcap_{a \in A} a \ne \emptyset $$

$( \implies )$

$X$ がコンパクトであり、$\mathscr{C} := \left\{ C_{\alpha} : C_{\alpha} \text{ is closed in } X, \alpha \in \Gamma \right\}$ が有限交差性を持つとする。ここで、$\displaystyle \bigcap_{\alpha \in \Gamma} C_{\alpha} = \emptyset$ と仮定し、$\mathscr{O} := \left\{ X \setminus C_{\alpha} : C_{\alpha} \in \mathscr{C} \right\}$ を選ぶ。すると、 $$ \begin{align*} \bigcup_{\alpha \in \Gamma} ( X \setminus C_{\alpha}) =& X \setminus \bigcap_{\alpha \in \Gamma} C_{\alpha} \\ =& X \setminus \emptyset \\ =& X \end{align*} $$ となるため、$\mathscr{O}$ は $X$ の開被覆となる。$X$ がコンパクトであるため、$\mathscr{O}$ は有限部分被覆 $\displaystyle \left\{ (X \setminus C_{\alpha_{1}}) , \cdots ,(X \setminus C_{\alpha_{n}}) \right\}$ を持つ。これは、つまり $$ X = \bigcup_{i=1}^{n} ( X \setminus C_{\alpha_{i}}) = X \setminus \bigcap_{i=1}^{n} C_{\alpha_{i}} $$ となり、$\displaystyle \bigcap_{i=1}^{n} C_{\alpha_{i}} = \emptyset$ であることを意味する。これは、$\mathscr{C}$ が有限交差性を持つという仮定に矛盾する。したがって、$\displaystyle \bigcap_{C \in \mathscr{C}} C \ne \emptyset$ でなければならない。

$( \impliedby )$

$X$ の開被覆 $\mathscr{O} := \left\{ O_{\alpha} : O_{\alpha} \text{ is open in } A, \alpha \in \Gamma \right\}$ と $\mathscr{C} := \left\{ X \setminus O_{\alpha} : O_{\alpha} \in \mathscr{O} \right\}$ を考える。 $$ \begin{align*} \bigcap_{\alpha \in \Gamma} C_{\alpha} &= \bigcap_{\alpha \in \Gamma} ( X \setminus O_{\alpha}) \\ =& X \setminus \bigcup_{\alpha \in \Gamma} O_{\alpha} \\ =& X \setminus X \\ =& \emptyset \end{align*} $$ となるため、対偶により、$\mathscr{C}$ は有限交差性を持たない。これは、言い換えると、$\displaystyle \bigcap_{i=1}^{n} C_{\alpha_{i}} = \emptyset$ を満たす $C_{\alpha_{1}} , \cdots , C_{\alpha_{n}} \in \mathscr{C}$ が存在することを意味する。すると、

$$ \begin{align*} X \setminus \bigcup_{i=1}^{n} O_{i} =& X \setminus \bigcup_{i=1}^{n} (X \setminus C_{i}) \\ =& X \setminus \left( X \setminus \bigcap_{i=1}^{n} C_{i} \right) \\ =& \bigcap_{i=1}^{n} C_{i} \\ =& \emptyset \end{align*} $$ となるため、$\displaystyle X = \bigcup_{i=1}^{n} O_{i}$ である。つまり、開被覆 $\mathscr{O}$ に対して有限部分被覆が存在するため、コンパクトである。

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