📂セイバーメトリクス

ポーカーハンドの確率計算

スートとランクの定義

確率に入る前に、ポーカー自体をよく知らなければ、役を調べてみることをお勧めする。確率を計算する前に、二つの定義をしよう:

• スート: 集合{♠,◇,♤,♣}の元
• ランク: 集合{A,2,3,4,5,6,7,8,9,10,J,Q,K}の元

もし二つ以上の役が同時に成立する場合は、高い方に従う。以下の確率は、5枚を引き、その時の最も高い役を考慮したものである。

ワンペア

• ランクが同じカードの対が存在するランクを一つ選ぶ $( _{ 13 }{ { C }_{ 1 } }=13)$
• スートを4つ中2つ選ぶ $( _{ 4 }{ { C }_{ 2 } })$
• 最初に選んだ対と異なる他の三つのランクを選ぶ $( _{ 12 }{ { C }_{ 3 } })$
• 選択された三枚のカードのスートを選ぶ $( _{ 4 }{ { C }_{ 1 } }\times _{ 4 }{ { C }_{ 1 } }\times _{ 4 }{ { C }_{ 1 } }={ 4 }^{ 3 })$ $$\therefore \frac { 13\times _{ 4 }{ { C }_{ 2 }\times _{ 12 }{ { C }_{ 3 }\times { 4 }^{ 3 } } } }{ _{ 52 }{ { C }_{ 5 } } }$$

注意する点は、最初に選んだ対と異なる三つの数字を選ぶとき、48x47x46を使ってはいけないということである。なぜなら、48x47x46は残りの48枚のカードから3枚を選び、順序を考慮して並べること、つまり順列であるからだ。

ツーペア

• ランクが同じカードの対が二つ存在するランクを二つ選ぶ $( _{ 13 }{ { C }_{ 2 } })$
• 選択された二つの対のスートを選ぶ $( _{ 4 }{ { C }_{ 2 } }\times _{ 4 }{ { C }_{ 2 } }={ 6 }^{ 2 })$
• 最初に選んだ対と異なるランクを選ぶ $( _{ 11 }{ { C }_{ 1 } }=11)$
• 選択されたカードのスートを選ぶ $( _{ 4 }{ { C }_{ 1 } }=4)$ $$\therefore \frac { _{ 13 }{ { C }_{ 2 } }\times { 6 }^{ 2 } \times 11\times 4 }{ _{ 52 }{ { C }_{ 5 } } }$$

ただワンペアのように計算しようとすると、ランクを間違えてしまう可能性がある。最初の対と二番目の対を別々に計算すると、対に順序ができてしまうからである。

スリーカード

• ランクが同じカードが3枚存在するランクを選ぶ $( _{ 13 }{ { C }_{ 1 } }=13)$
• 選択されたランクのスートを選ぶ $( _{ 4 }{ { C }_{ 3 } }=4)$
• 最初に選んだランクと異なる二つのランクを選ぶ $( _{ 12 }{ { C }_{ 2 } })$
• 選択された二つのランクのスートを選ぶ $(4\times 4= { 4 }^{ 2 })$ $$\therefore \frac { 13\times 4\times _{ 12 }{ { C }_{ 2 } }\times { 4 }^{ 2 } }{ _{ 52 }{ { C }_{ 5 } } }$$ 特に難しいことはない。

ストレート

• A=1, J=11, Q=12, K=13とした場合、5枚のランクが連続かつA,K,Q,J,10が存在する、A~5から9~Kまで9種類、またはA,K,Q,J,10 $(9+1=10)$5枚のスートを選ぶ $(4\times 4\times 4\times 4\times 4={ 4 }^{ 5 })$
• ストレートフラッシュ以上の場合を除外 $(4\times 10=40)$ $$\therefore \frac { 10\times { 4 }^{ 5 } -40 }{ _{ 52 }{ { C }_{ 5 } } }$$

表現が少し難しいが、要するに連続したランクで五枚を揃えればよいという話だ。

フラッシュ

• 五枚のカードのスートが全て同じ四つのスートの中から一つを選ぶ $( _{ 4 }{ { C }_{ 1 } }=4)$
• 同じスートの五枚を選ぶ $( _{ 13 }{ { C }_{ 5 } })$
• ストレートフラッシュ以上の場合を除外 $(4\times 10=40)$ $$\therefore \frac { 4\times _{ 13 }{ { C }_{ 5 }-40 } }{ _{ 52 }{ { C }_{ 5 } } }$$

ストレートフラッシュのために40を引くことが重要だ。

フルハウス

• 二つの異なるランクに対してワンペアでありながらスリーカード ワンペアとなるランクを選ぶ $( _{ 13 }{ { C }_{ 1 } }=13)$
• ワンペアのスートを選ぶ $( _{ 4 }{ { C }_{ 2 } })$
• スリーカードとなるランクを選ぶ $( _{ 12 }{ { C }_{ 1 } }=12)$
• スリーカードのスートを選ぶ $( _{ 4 }{ { C }_{ 3 } })$ $$\therefore \frac { 13\times _{ 4 }{ { C }_{ 2 } }\times 12\times _{ 4 }{ { C }_{ 3 } } }{ _{ 52 }{ { C }_{ 5 } } }$$

ワンペアが出るケースとスリーカードが出るケースをただ掛け合わせてフルハウスとするのは間違っている。

フォーカード

• ランクが同じカードが4枚存在するランクを選ぶ $( _{ 13 }{ { C }_{ 1 } }=13)$
• 残りのカード一枚を選ぶ $( _{ 48 }{ { C }_{ 1 } }=48)$ $$\therefore \frac { 13\times 48 }{ _{ 52 }{ { C }_{ 5 } } }$$

ワンペアが同じランクで二度発生すると考えると簡単だ。

ストレートフラッシュ

• ストレートでありフラッシュ $(10\times 4=40)$
• ただし、ロイヤルストレートフラッシュを除外 $(4)$ $$\therefore \frac { 40-4 }{ _{ 52 }{ { C }_{ 5 } } }$$

ロイヤルストレートフラッシュ

• A,K,Q,J,10が存在し、かつフラッシュであるため、四種しかない。 $$\therefore \frac { 4 }{ _{ 52 }{ { C }_{ 5 } } }$$