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ケーリーの定理の証明 📂抽象代数

ケーリーの定理の証明

定理 1

全ての群は，ある対称群の同型な部分群である。

説明

この短くて重要な定理は，対称群を研究すれば，全ての群を把握できるというメッセージを含んでいる。

証明

一見すると退屈に見えるかもしれないが，技術がかなり興味深いので，少なくとも一度は直接フォローしてみることをお勧めします。

Part 1. f:G→G′f : G \to G' が単射ならば G≃f(G)G \simeq f (G)

群 GG と G′G' に対して，準同型写像 f:G→G′f : G \to G' が単射ならば G≃f(G)G \simeq f (G) であることを示そう。

群の定義: 群は以下の性質を満たす二項演算構造だ。

  • (i): 演算は結合法則が成立する。
  • (ii): すべての元に対して単位元が存在する。
  • (iii): すべての元に対して逆元が存在する。

ff を関数 f:G→f(G)f : G \to f(G) と見たときの ff による GG の像 f(G)⊂G′f(G) \subset G' を値域とするならば、自然に全射である。ff が単射と仮定すれば、f(G)f(G) が群であることを示し、G≃f(G)G \simeq f(G) を得ることができる。

x,y∈Gx,y \in G と x′,y′∈G′x', y ' \in G' に対して f(x)=x′f(x) = x ', f(y)=y′f(y) = y ' とすると f(xy)=f(x)f(y)=x′y’ f(xy) = f(x) f(y) = x ' y’ となり、f(G)f(G) は G′G' の演算に対して閉じている。また、f(G)⊂G′f(G) \subset G' であり、G′G' が群なので、結合法則を満たす。

ee を GG の単位元、e′e' を G′G' の単位元とすると e′f(e)=f(e)=f(ee)=f(e)f(e) e' f(e) = f(e) = f(ee) = f(e) f(e) となり、f(G)f(G) は単位元 e′e' を持つ。

最後に e′=f(e)=f(xx−1)=f(x)f(x−1)=x′f(x−1) e' = f(e) = f(x x^{-1}) = f(x) f(x^{-1}) = x ' f(x^{-1}) つまり全ての x′∈f(G)x' \in f(G) は逆元 f(x−1)f(x^{-1}) を持つので、f(G)f(G) は群である。

Part 2. ∃ϕ:G↪SG\exists \phi : G \hookrightarrow S_{G}

ここで、モノモルフィズム（準同型写像であり、かつ単射である関数）ϕ:G→SG\phi : G \to S_{G} の存在を示せば、証明は終了である。

x∈Gx \in G に対して、λx:G→G\lambda_{x} : G \to G を λx(g):=xg\lambda_{x} (g) := xg として定義すると λx(a)=λx(b)  ⟹  xa=xb  ⟹  a=b \lambda_{x} (a) = \lambda_{x} (b) \implies xa = xb \implies a = b となり、λx\lambda_{x} は単射である。また、全ての c∈Gc \in G に対して λx(x−1c)=xx−1c=c \lambda_{x} (x^{-1} c ) = x x^{-1} c = c となるので、λx\lambda_{x} は全射であり、従ってλx:G→G\lambda_{x} : G \to G は GG の置換である。

したがって、x∈Gx \in G に対して ϕ:G→SG\phi : G \to S_{G} を ϕ(x)=λx\phi (x) = \lambda_{x} として定義しても良い。ϕ(x)=ϕ(y)\phi (x) = \phi (y) とし、λx=λy\lambda_{x} = \lambda_{y} であり、λx(e)=λy(e)\lambda_{x} (e) = \lambda_{y} (e) なので xe=ye  ⟹  x=y x e = y e \implies x = y つまり、ϕ\phi は単射である。一方 ϕ(xy)=λxy\phi (xy) = \lambda_{xy} なので λxy(g)=(xy)g\lambda_{xy}(g) = (x y) g であり、λx,λy\lambda_{x} , \lambda_{y} が置換であるので (λxλy)(g)=λx(λy(g))=λx(yg)=x(yg) ( \lambda_{x} \lambda_{y} ) (g) = \lambda_{x} (\lambda_{y} (g)) = \lambda_{x} (yg) = x (yg) となる。まとめると ϕ(xy)=λxy=λxλy=ϕ(x)ϕ(y)\phi (xy) = \lambda_{xy} = \lambda_{x} \lambda_{y} = \phi (x) \phi (y) つまり、ϕ\phi は準同型写像である。

したがって、GG は SGS_{G} のある部分群に対して同型である。

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  1. Fraleigh. (2003). A first course in abstract algebra(7th Edition): p82. ↩︎