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位相数学における連続的性質とは？ 📂位相幾何学

位相数学における連続的性質とは？

ビルドアップ：部分空間

位相空間 (X,T)(X, \mathscr{T}) について、Y⊂XY \subset X とする。

T’:={U∩Y ∣ U∈T}\mathscr{T}’ := \left\{ U \cap Y \ | \ U \in \mathscr{T} \right\} としたら、(Y,T’)(Y , \mathscr{T}’ ) は XX の部分空間subspaceになり、T′\mathscr{T} ' を T\mathscr{T} によって誘引される YY の部分位相subspace Topologyという。

  • [1]: A⊂YA \subset Y が YY で閉じた部分集合であるための必要十分条件は、A=C∩YA = C \cap Y を満たす閉じた部分集合 C⊂XC \subset X が存在することだ。
  • [2]: y∈Yy \in Y に対して、N⊂YN \subset Y が yy の近傍であるための必要十分条件は、N=Y∩n′N = Y \cap n ' を満たす yy の近傍 N′⊂XN ' \subset X が存在することだ。

新しく形成される部分位相は、元の空間の性質を持っている保証が全くないことに注意が必要だ。したがって、以下のような概念を考えざるを得ない。

定義

XX 位相的性質 PP について、XX の全ての部分空間が PP を持つとき、PP を遺伝的性質hereditaryという。

遺伝的性質の例としては、以下のようなものがある。

  • (1): 第一可算性
  • (2): 第二可算性
  • (3): 距離化可能性
  • (4): ハウスドルフ性

一般化を追究する性質自体が数学者の本能とも言えるが、「必要か？」という質問に答えるわけではない。しかし、全体で証明された定理が部分でも通じるなら、自然に部分よりも全体を研究する方が効率的で必要になる。全体の性質が部分で保持されるかどうかの問題は、数学を研究する最も重要な理由と言っても過言ではない。

逆に、遺伝的性質でない場合は、反例を考える価値がある。位相的性質であるが遺伝的性質でない例は、以下の通り。

反証

(-1)

位相的性質でありながら遺伝的性質でない反例を示そう。

R2\mathbb{R}^{2} の部分集合 X={(0,1)}∪{(x,0) ∣ x∈R}T={∅}∪{U ∣ (0,1)∈U⊂X} X = \left\{ (0,1) \right\} \cup \left\{ (x,0) \ | \ x \in \mathbb{R} \right\} \\ \mathscr{T} = \left\{ \emptyset \right\} \cup \left\{ U \ | \ (0,1) \in U \subset X \right\} を考えると、(X,T)\left( X , \mathscr{T} \right) は位相空間になり、部分集合 Y={(0,1) ∣ x∈R}⊂X Y = \left\{ (0,1) \ | \ x \in \mathbb{R} \right\} \subset X は部分空間 (Y,T′)\left( Y , \mathscr{T} ' \right) を形成できる。T\mathscr{T} の定義により、全ての U⊂TU \subset \mathscr{T} に対して {(0,1)}∩U≠∅ \left\{ (0,1) \right\} \cap U \ne \emptyset であるため、{(0,1)}\left\{ (0,1) \right\} は XX で稠密である。単一要素集合 {(0,1)}\left\{ (0,1) \right\} は可算であるため、XX は可分空間である。一方 Y={(x,0) ∣ x∈R}⊂X Y = \left\{ (x, 0) \ | \ x \in \mathbb{R} \right\} \subset X で部分空間 (Y,T′)\left( Y, \mathscr{T} ' \right) を形成する。しかし、 T′={U∩Y ∣ U∈T}=P(R)=P(Y) \mathscr{T} ' = \left\{ U \cap Y \ | \ U \in \mathscr{T} \right\} = \mathscr{P} (\mathbb{R}) = \mathscr{P} (Y) つまり、YY は離散空間になる。

稠密性の判定法: AA が XX で稠密であることと、XX の全ての開集合 UU に対して U∩A≠∅U \cap A \ne \emptyset が成り立つことは同値である。

離散空間では、全ての U∈T′=P(Y)U \in \mathscr{T} ' = \mathscr{P} (Y) に対して U∩(Y∖U)=∅ U \cap ( Y \setminus U ) = \emptyset であるため、YY の任意の可算部分集合 U⊂P(Y)U \subset \mathscr{P} (Y) を取っても、U∩Uc=∅U \cap U^{c} = \emptyset を満たす開集合 Uc∈T′U^{c} \in \mathscr{T} ' が存在し、UU は稠密性を持たない。したがって、YY は可分空間になることができない。

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(-2)

位相的性質でありながら遺伝的性質でない反例を示そう。ユークリッド空間 R\mathbb{R} の部分集合 X:=(−1,0)∪(0,1)X : = (-1,0) \cup (0,1) を考えると、R\mathbb{R} の部分空間 XX は非連結空間である。

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