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無限ポテンシャル井戸におけるエネルギー準位 📂量子力学

無限ポテンシャル井戸におけるエネルギー準位


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無限ポテンシャル井戸での波動関数(固有関数)とエネルギー(固有値)を求めるには、ここを参考にしてね。さて、結果を持ってきて、これがどんな意味を持つかを見てみよう。

固有関数ψ(x)=2asinnπax\displaystyle \psi_{(x)} =\sqrt{\frac{2}{a}}\sin \frac{n\pi}{a}x 固有値En=n2π222ma2\displaystyle E_{n}=\frac{n^2\pi^2\hbar^2}{2ma^2}

無限ポテンシャル井戸の波動関数に対して運動量の期待値は00だけど、運動量の二乗の期待値は00じゃない。1.1.運動量の期待値 \begin{align*} \langle p \rangle &= \int_{0}^a {\psi_{n}(x)}^{\ast} p {\psi_{n}(x)} dx \\ &= \int_{0}^a \psi_{n}(x) \left( \frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial x} \right) {\psi_{n}(x)} dx \\ &= \frac{\hbar}{i} \int_{0}^a \psi_{n}(x) \frac{\partial}{\partial x}{\psi_{n}(x)} dx \end{align*}この時、ψ2x=2ψψx\displaystyle \frac{\partial \psi ^2}{\partial x}=2\psi\frac{\partial \psi}{\partial x}なのでψψx=12ψ2x\displaystyle \psi \frac{\partial \psi}{\partial x}=\frac{1}{2}\frac{\partial \psi^2}{\partial x}なんだ。i0aψn(x)xψn(x)dx=i0a12xψn(x)2dx=i12[2asin2nπxa]0a=i122a(sin2nπsin20)=0 \displaystyle{ \therefore \frac{\hbar}{i} \int_{0}^a \psi_{n}(x) \frac{\partial}{\partial x}{\psi_{n}(x)} dx \\ = \frac{\hbar}{i} \int_{0}^a \frac{1}{2} \frac{\partial}{\partial x}{\psi_{n}(x)}^2 dx \\ = \frac{\hbar}{i}\frac{1}{2} \left[ \frac{2}{a} \sin^2 \frac{n\pi x}{a} \right]_{0}^a \\ = \frac{\hbar}{i}\frac{1}{2} \frac{2}{a} (\sin ^2 n\pi – \sin^2 0) \\ = 0 }全区間で運動量の期待値が00だからと言って、粒子が存在しないわけじゃないんだ。期待値が00だからと言って運動量が00というわけじゃないんだ。下の運動量の二乗の期待値が00じゃないことを確認してみよう。2.2.運動量の二乗の期待値p2=0aψn(x)(22x2)ψn(x)dx \displaystyle \langle p^2 \rangle = \int_{0}^a \psi_{n}(x) \left( -\hbar^2 \frac{\partial ^2}{\partial x^2} \right) \psi_{n}(x) dx この時、シュレーディンガー方程式が22m2x2ψ=Enψ\displaystyle \frac{-\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2 }{\partial x^2}\psi = E_{n}\psiなので22x2ψ=2mEnψ\displaystyle -\hbar^2 \frac{\partial^2 }{\partial x^2}\psi = 2m E_{n}\psiなんだ。だから \begin{align*} \int_{0}^a \psi_{n}(x) \left( -\hbar^2 \frac{\partial ^2}{\partial x^2} \right) \psi_{n}(x) dx &= \int_{0}^a \psi_{n}(x) 2m E_{n} \psi_{n}(x)dx \\ &= 2mE_{n}\int_{0}^a {\psi_{n}(x)}^2 dx \\ &= 2mE_{n} \\ &= 2m\frac{n^2 \hbar ^2 \pi^2}{2ma^2} \\ &= \left( \frac{2\hbar\pi}{a} \right)^2 \end{align*} これで22の結果を利用して運動エネルギーの期待値を求めることができるんだ。3.3.運動エネルギーの期待値 \begin{align*} \langle K \rangle &= \langle \frac{1}{2m} p^2 \rangle \\ &= \frac{1}{2m} \langle p^2 \rangle \\ &= \frac{1}{2m} (2mE_{n}) \\ &= E_{n}=\frac{n^2 \hbar^2 \pi^2}{2ma^2} \end{align*} この時、波動関数の波長を見てみよう。波動関数はsinnπxa\displaystyle \sin \frac{n\pi x}{a}なので波長は2π(anπ)=2an\displaystyle 2\pi (\frac{a}{n\pi})=\frac{2a}{n}なんだ。この時、ド・ブロイの物質波の公式でも同じ結果が得られるよ。λ=hp=2πk=2πk=2πanπ=2an\displaystyle \lambda = \frac{h}{p}=\frac{2\pi \hbar}{\hbar k}=\frac{2\pi}{k}=2\pi \frac{a}{n\pi}=\frac{2a}{n}nnについて、エネルギーと波長を書くと以下のようになる。E1=π222ma2\displaystyle E_{1}=\frac{\pi^2 \hbar^2}{2ma^2}λ1=2a\lambda_{1} = 2a E2=4π222ma2=4E1 E_2 = \frac{4\pi^2 \hbar^2}{2ma^2}=4E_{1}λ2=a\lambda_2=a E3=9π222ma2=9E1 E_{3} = \frac{9\pi^2 \hbar^2}{2ma^2}=9E_{1}λ2=2a3\lambda_2=\frac{2a}{3}これを図にすると以下のようになるんだ。 2.jpg 物理的意味を持つのはψ\psiではなくてψ2|\psi|^2だから、位相は重要じゃないんだ。つまり、下の二つの図を見ると、青い波は互いに位相が反対だけど、どちらでも構わないってことだ。 3.jpg 波動関数はa2\frac{a}{2}を中心に対称で、エネルギーはn2n^2に比例し、波動関数が多く振動するほどエネルギー準位が高い(エネルギーが大きい)つまり、エネルギーが大きければ波動関数が多く振動するんだ。