無限ポテンシャル井戸におけるエネルギー準位
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固有関数$\displaystyle \psi_{(x)} =\sqrt{\frac{2}{a}}\sin \frac{n\pi}{a}x$ 固有値$\displaystyle E_{n}=\frac{n^2\pi^2\hbar^2}{2ma^2}$
無限ポテンシャル井戸の波動関数に対して運動量の期待値は$0$だけど、運動量の二乗の期待値は$0$じゃない。$1.$運動量の期待値$ \begin{align*}
\langle p \rangle &= \int_{0}^a {\psi_{n}(x)}^{\ast} p {\psi_{n}(x)} dx
\\ &= \int_{0}^a \psi_{n}(x) \left( \frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial x} \right) {\psi_{n}(x)} dx
\\ &= \frac{\hbar}{i} \int_{0}^a \psi_{n}(x) \frac{\partial}{\partial x}{\psi_{n}(x)} dx
\end{align*}$この時、$\displaystyle \frac{\partial \psi ^2}{\partial x}=2\psi\frac{\partial \psi}{\partial x}$なので$\displaystyle \psi \frac{\partial \psi}{\partial x}=\frac{1}{2}\frac{\partial \psi^2}{\partial x}$なんだ。$ \displaystyle{ \therefore \frac{\hbar}{i} \int_{0}^a \psi_{n}(x) \frac{\partial}{\partial x}{\psi_{n}(x)} dx
\\ = \frac{\hbar}{i} \int_{0}^a \frac{1}{2} \frac{\partial}{\partial x}{\psi_{n}(x)}^2 dx
\\ = \frac{\hbar}{i}\frac{1}{2} \left[ \frac{2}{a} \sin^2 \frac{n\pi x}{a} \right]_{0}^a
\\ = \frac{\hbar}{i}\frac{1}{2} \frac{2}{a} (\sin ^2 n\pi – \sin^2 0)
\\ = 0 }$全区間で運動量の期待値が$0$だからと言って、粒子が存在しないわけじゃないんだ。期待値が$0$だからと言って運動量が$0$というわけじゃないんだ。下の運動量の二乗の期待値が$0$じゃないことを確認してみよう。$2.$運動量の二乗の期待値$ \displaystyle \langle p^2 \rangle = \int_{0}^a \psi_{n}(x) \left( -\hbar^2 \frac{\partial ^2}{\partial x^2} \right) \psi_{n}(x) dx $この時、シュレーディンガー方程式が$\displaystyle \frac{-\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2 }{\partial x^2}\psi = E_{n}\psi$なので$\displaystyle -\hbar^2 \frac{\partial^2 }{\partial x^2}\psi = 2m E_{n}\psi$なんだ。だから$ \begin{align*}
\int_{0}^a \psi_{n}(x) \left( -\hbar^2 \frac{\partial ^2}{\partial x^2} \right) \psi_{n}(x) dx &= \int_{0}^a \psi_{n}(x) 2m E_{n} \psi_{n}(x)dx
\\ &= 2mE_{n}\int_{0}^a {\psi_{n}(x)}^2 dx
\\ &= 2mE_{n}
\\ &= 2m\frac{n^2 \hbar ^2 \pi^2}{2ma^2}
\\ &= \left( \frac{2\hbar\pi}{a} \right)^2
\end{align*} $これで$2$の結果を利用して運動エネルギーの期待値を求めることができるんだ。$3.$運動エネルギーの期待値$ \begin{align*}
\langle K \rangle &= \langle \frac{1}{2m} p^2 \rangle
\\ &= \frac{1}{2m} \langle p^2 \rangle
\\ &= \frac{1}{2m} (2mE_{n})
\\ &= E_{n}=\frac{n^2 \hbar^2 \pi^2}{2ma^2}
\end{align*} $この時、波動関数の波長を見てみよう。波動関数は$\displaystyle \sin \frac{n\pi x}{a}$なので波長は$\displaystyle 2\pi (\frac{a}{n\pi})=\frac{2a}{n}$なんだ。この時、ド・ブロイの物質波の公式でも同じ結果が得られるよ。$\displaystyle \lambda = \frac{h}{p}=\frac{2\pi \hbar}{\hbar k}=\frac{2\pi}{k}=2\pi \frac{a}{n\pi}=\frac{2a}{n}$各$n$について、エネルギーと波長を書くと以下のようになる。$\displaystyle E_{1}=\frac{\pi^2 \hbar^2}{2ma^2}$、$\lambda_{1} = 2a
$$
E_2 = \frac{4\pi^2 \hbar^2}{2ma^2}=4E_{1}$、$\lambda_2=a
$$
E_{3} = \frac{9\pi^2 \hbar^2}{2ma^2}=9E_{1}$、$\lambda_2=\frac{2a}{3}$これを図にすると以下のようになるんだ。 
物理的意味を持つのは$\psi$ではなくて$|\psi|^2$だから、位相は重要じゃないんだ。つまり、下の二つの図を見ると、青い波は互いに位相が反対だけど、どちらでも構わないってことだ。 
波動関数は$\frac{a}{2}$を中心に対称で、エネルギーは$n^2$に比例し、波動関数が多く振動するほどエネルギー準位が高い（エネルギーが大きい）つまり、エネルギーが大きければ波動関数が多く振動するんだ。