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可測関数に収束する単純関数列の存在性 📂測度論

可測関数に収束する単純関数列の存在性

定理1

(X,E)(X, \mathcal{E})可測空間とする。

  1. f:X[0,]f : X \to [0, \infty]可測関数であれば、以下を満たす単関数の列{ϕn}\left\{ \phi_{n} \right\}が存在する。 0ϕ1ϕ2fandϕf 0 \le \phi_{1} \le \phi_{2} \le \cdots \le f \quad \text{and} \quad \phi \to f もしffが有界であれば、 ϕf \phi \rightrightarrows f

ここでϕf\phi \to f点収束を、ϕf\phi \rightrightarrows f一様収束を意味する。

2. f:XCf : X \to \mathbb{C}が可測関数であれば、以下を満たす単関数の列{ϕn}\left\{ \phi_{n} \right\}が存在する。 0ϕ1ϕ2fandϕf 0 \le \left| \phi_{1} \right| \le \left| \phi_{2} \right| \le \cdots \le \left| f \right| \quad \text{and} \quad \phi \to f もしffが有界であれば、 ϕf \phi \rightrightarrows f

証明

実関数についてのみ証明する。


n=0,1,2,n = 0, 1, 2, \dots0k22n10 \le k \le 2^{2n} -1に対して、EnkE_{n}^{k}FnF_{n}を次のように置く。

Enk=f1((k2n,(k+1)2n]) and Fn=f1((2n,]) E_{n}^{k} = f^{-1}\left( (k2^{-n}, (k+1)2^{-n}] \right) \quad \text{ and } \quad F_{n} = f^{-1}\left( (2^{n}, \infty] \right)

そして、ϕn\phi_{n}を以下のように定義しよう。

ϕn=k=022n1k2nχEnk+2nχFn \phi_{n} = \sum\limits_{k=0}^{2^{2n} -1}k2^{-n}\chi_{E_{n}^{k}} + 2^{n}\chi_{F_{n}}

χ\chi特性関数だ。式だけでは理解しにくいかもしれないが、下の図を見てみよう。

fig1.png

左の図は何らかのffphi0phi_{0}を、右の図はffϕ1\phi_{1}を示している。n=0n=0の時点から一つ一つ考えれば、ϕn\phi_{n}がどのように作られるか理解しやすいだろう。

そうすると、定義によりϕnϕn+1\phi_{n} \le \phi_{n+1}が成立する。また、f2nf \le 2^{n}の場合にはfϕn2nf - \phi_{n} \le 2^{-n}が成立する(上の図を見よ)。


  1. Gerald B. Folland, Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications (2nd Edition, 1999), p47 ↩︎