可測関数に収束する単純関数列の存在性
📂測度論可測関数に収束する単純関数列の存在性
定理
(X,E)を可測空間とする。
- f:X→[0,∞]が可測関数であれば、以下を満たす単関数の列{ϕn}が存在する。
0≤ϕ1≤ϕ2≤⋯≤fandϕ→f
もしfが有界であれば、
ϕ⇉f
ここでϕ→fは点収束を、ϕ⇉fは一様収束を意味する。
2. f:X→Cが可測関数であれば、以下を満たす単関数の列{ϕn}が存在する。
0≤∣ϕ1∣≤∣ϕ2∣≤⋯≤∣f∣andϕ→f
もしfが有界であれば、
ϕ⇉f
証明
実関数についてのみ証明する。
n=0,1,2,…と0≤k≤22n−1に対して、EnkとFnを次のように置く。
Enk=f−1((k2−n,(k+1)2−n]) and Fn=f−1((2n,∞])
そして、ϕnを以下のように定義しよう。
ϕn=k=0∑22n−1k2−nχEnk+2nχFn
χは特性関数だ。式だけでは理解しにくいかもしれないが、下の図を見てみよう。

左の図は何らかのfとphi0を、右の図はfとϕ1を示している。n=0の時点から一つ一つ考えれば、ϕnがどのように作られるか理解しやすいだろう。
そうすると、定義によりϕn≤ϕn+1が成立する。また、f≤2nの場合にはf−ϕn≤2−nが成立する(上の図を見よ)。
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