クローン不可能定理

定理¹

次のようにキュービットを複製する量子ゲートは存在しない。

$$\begin{equation} \begin{aligned} (\mathbb{C}^{2})^{\otimes 2} &\to (\mathbb{C}^{2})^{\otimes 2} \\ \ket{x} \otimes \ket{0} &\mapsto \ket{x} \otimes \ket{x},\quad \forall \ket{x} \in \mathbb{C}^{2} \end{aligned} \end{equation}$$

ここで$(\mathbb{C}^{2})^{\otimes 2}$はベクトル空間のテンソル積、$\ket{a} \otimes \ket{b}$は積ベクトルだ。

説明

量子コンピューターを用いた計算が古典コンピューターの計算と根本的に異なる理由の一つは、量子情報を複製できないためだ。

この定理の意味に注意が必要だ。定理が言っているのは、特定のキュービットを複製できないわけではない。与えられた任意のキュービット$\ket{x} \in \mathbb{C}^{2}$を複製するゲートが存在しないということだ。任意のキュービットではなく、特定のキュービットを複製する量子ゲートは存在する。例えば、下の定理の結果により$\alpha$または$\beta$が$0$である場合、複製が可能かもしれないが、量子$\operatorname{CNOT}$ゲートがその例だ。つまり量子コンピューティングでは、正確に2つのキュービット$\ket{0}$、$\ket{1}$だけが複製可能で、一般的な重ね合わせ状態は不可能だ。

$$\operatorname{CNOT}_{q} (\ket{00}) = \ket{00} \\[0.5em] \operatorname{CNOT}_{q} (\ket{10}) = \ket{11}$$

証明

戦略: 背理法で証明する。

表記: $\ket{ab} = \ket{a} \otimes \ket{b}$

任意の$\ket{x} = \alpha\ket{0} + \beta\ket{1} \in \mathbb{C}^{2}$$(0 \ne \alpha, \beta \in \mathbb{C}, \left| \alpha \right|^{2} + \left| \beta \right|^{2} = 1)$に対して$(1)$を満たす量子ゲート$G$が存在すると仮定する。ユニタリ演算子は線形なので、次が成り立つ。

$$\begin{align*} G\left( \ket{x} \otimes \ket{0} \right) &= G\left( (\alpha\ket{0} + \beta\ket{1}) \otimes \ket{0} \right) \\ &= G\left( \alpha\ket{0} \otimes \ket{0} + \beta\ket{1} \otimes \ket{0} \right) \\ &= \alpha G( \ket{00} ) + \beta G( \ket{10} ) \\ &= \alpha \ket{00} + \beta \ket{11} \end{align*}$$

さらに、$G$は$(1)$を満たすため、次が成り立つ。

$$\begin{align*} G\left( \ket{x} \otimes \ket{0} \right) &= G\left( (\alpha\ket{0} + \beta\ket{1}) \otimes \ket{0} \right) \\ &= \left( \alpha\ket{0} + \beta\ket{1} \right) \otimes \left( \alpha\ket{0} + \beta\ket{1} \right) \\ &= \alpha^{2}\ket{00} + \alpha\beta\ket{10} + \alpha\beta\ket{01} + \beta^{2}\ket{11} \\ \end{align*}$$

これらの式から、次を得る。

$$\alpha \ket{00} + \beta \ket{11} = \alpha^{2}\ket{00} + \alpha\beta\ket{10} + \alpha\beta\ket{01} + \beta^{2}\ket{11} \\[1em] \implies \alpha^{2} = \alpha,\quad \beta^{2} = \beta,\quad \alpha\beta = 0$$

これは$\alpha, \beta \ne 0$という仮定に矛盾するため、任意のキュービットを複製する量子ゲート$G$は存在しないと結論づけることができる。

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