角運動量の同時固有関数
定理
角運動量演算子 $L^{2}$ と $L_{z}$の 規格化された 同時固有関数を $\ket{l, m}$と表示しよう。これに対する固有値方程式は次の通り。
$$ \begin{align*} L^{2} \ket{\ell, m} &= \ell(\ell+1)\hbar^{2}\ket{\ell, m} \\ L_{z}\ket{\ell, m} &= m\hbar\ket{\ell, m} \end{align*} $$
このとき $\ell$は整数または半整数のみ可能で、与えられた $\ell$に対して $m$の最小値は $-\ell$、最大値は $\ell$です。
$$ \begin{align*} \ell &= 0, \frac{1}{2}, 1, \frac{3}{2}, 2, \cdots \\ m &= -\ell, -\ell+1, -\ell+2, \cdots , \ell-2, \ell-1, \ell \quad \text{ for given } \ell \end{align*} $$
説明
このとき $\ell$の値が整数のときは 軌道角運動量に対する固有値方程式です。軌道角運動量は古典的に知っている角運動量と同じです。半整数の場合はスピン角運動量と呼ばれ、 $\mathbf L$の代わりに $\mathbf S$として表記します。これは古典的に対応する物理量のない、量子現象でのみ現れる固有の物理量です。二つの演算子 $L^{2}, L_{z}$に対する同時固有関数は $\ell, m$で区別されるため $\ket{\ell, m}$として表記します。
誘導
角運動量演算子 $L^{2}$と $L_{z}$は交換可能です。
$$ \left[ L^{2}, L_{z} \right] = 0 $$
交換可能な二つの演算子は同時固有関数を持つため、 $L^{2}$と $L_{z}$の規格化された同時固有関数を $\ket{\psi}$とし、各固有値を $\lambda$ , $\mu$としよう。すると、固有値方程式は次の通り。
$$ \begin{align*} L^{2} \ket{\psi} &= \lambda \ket{\psi} \\ L_{z}\ket{\psi} &= \mu\ket{\psi} \end{align*} $$
$$ \begin{align*} L_{\pm} &= L_{x} \pm \i L_{y} \\ L^{2} &= L_{-}L_{+} + {L_{z}}^{2} + \hbar L_{z} \\ &= L_{+}L_{-} + {L_{z}}^{2} - \hbar L_{z} \\ \end{align*} $$
ラダー演算子 $L_{\pm}$が $L_{z}$と $L^{2}$の同時固有関数に適用された場合、 $L_{z}$に対する固有値は $\pm \hbar$だけ変化し、 $L^{2}$に対する固有値は変化しません。
$$ \begin{align*} L_{z} (L_\pm \ket{\psi}) &= (\mu \pm \hbar)L_\pm \ket{\psi} \\ L^{2} (L_\pm \ket{\psi}) &= \lambda L_\pm \ket{\psi} \end{align*} $$
この事実は重要な意味を持っており、 $L_{\pm}$が $L^{2}$の固有値を変化させないため、 $L_{z}$の固有値が無限大に大きくなることはできません。 $L^{2} = {L_{x}}^{2} + {L_{y}}^{2} + {L_{z}}^{2}$ であり、固有関数は規格化されているので、期待値を計算してみると、
$$ \braket{L^{2}} = \braket{{L_{x}}^{2}} + \braket{{L_{y}}^{2}} + \braket{{L_{z}}^{2}} $$
$$ \implies \lambda = \braket{{L_{x}}^{2}} + \braket{{L_{y}}^{2}} + \mu^{2} \ge \mu^{2} $$
したがって、 $L_{z}$の固有値は一定の大きさ以上に大きくすることはできません。一番大きな固有値を $\ell \hbar$とし、これに対応する固有関数を $\ket{\psi_{\text{max}}}$としよう。すると、次の二つの固有値方程式が得られます。
$$ \begin{align*} L_{z}\ket{\psi_{\text{max}}} &= \ell \hbar \ket{\psi_{\text{max}}} \\ L^{2}\ket{\psi_{\text{max}}} &= \lambda \ket{\psi_{\text{max}}} \end{align*} $$
また、 $L_{z}$の固有値が最大の状態では、 $L_{z}$の値が全ての角運動量の値と等しいので、角運動量の $x$成分値と $y$成分値は $0$です。
$$ L_{x} \ket{\psi_{\text{max}}} = L_{y} \ket{\psi_{\text{max}}} = 0 $$
したがって、次の式が得られます。
$$ L_{+} \ket{\psi_{\text{max}}} = L_{+}\ket{\psi_{\text{max}}} + \i L_{y}\ket{\psi_{\text{max}}} = 0\ket{\psi_{\text{max}}} + \i 0\ket{\psi_{\text{max}}} = 0 $$
または物理的な意味がないので、 $L_{+} \ket{\psi_{\text{max}}} = 0$としておくと考えてもよいです。 この性質を利用して次のように計算できます。
$$ \begin{equation} \begin{aligned} L^{2} \ket{\psi_{\text{max}}} &= (L_{-}L_{+} + {L_{z}}^{2} + \hbar L_{z})\ket{\psi_{\text{max}}} \\ &= (0 + \ell^{2}\hbar^{2} + \ell\hbar^{2})\ket{\psi_{\text{max}}} \\ &= \ell(\ell + 1)\hbar^{2} \ket{\psi_{\text{max}}} \\ &= \lambda \ket{\psi_{\text{max}}} \end{aligned} \end{equation} $$
したがって、 $\lambda = \ell(\ell + 1)\hbar^{2}$です。同じ論理で $L_{z}$の固有値が最も低い状態 $\ket{\psi_{\text{min}}}$が存在することがわかります。 この状態に $L_{-}$を取った値は物理的に意味がないため、 $0$にするのが合理的です。
$$ L_{-}\ket{\psi_{\text{min}}} = 0 $$
最も低い状態の固有値を $\ell^{\prime} \hbar$とすると、固有値方程式は次の通り。
$$ \begin{align*} L_{z}\ket{\psi_{\text{min}}} &= \ell^{\prime} \hbar \ket{\psi_{\text{min}}} \\ L^{2}\ket{\psi_{\text{min}}} &= \lambda \ket{\psi_{\text{min}}} \end{align*} $$
そして、同様に次の式が成り立ちます。
$$ \begin{equation} \begin{aligned} L^{2} \ket{\psi_{\text{min}}} &= (L_{+}L_{-} + {L_{z}}^{2} - \hbar L_{z})\ket{\psi_{\text{min}}} \\ &= (0 + {\ell^{\prime}}^{2}\hbar^{2} - \ell^{\prime}\hbar^{2})\ket{\psi_{\text{min}}} \\ &= \ell^{\prime}(\ell^{\prime}-1)\hbar^{2} \ket{\psi_{\text{min}}} \\ &= \lambda \ket{\psi_{\text{min}}} \end{aligned} \end{equation} $$
$(1)$ と $(2)$から次の式が得られます。
$$ \begin{align*} \lambda &= \ell(\ell+1)\hbar^{2} \\ \lambda &= \ell^{\prime}(\ell^{\prime}-1)\hbar^{2} \\ \end{align*} $$
即ち、以下の式が成立します。
$$ \begin{align*} && \ell(\ell+1)\hbar^{2} &= \ell^{\prime}(\ell^{\prime}-1)\hbar^{2} \\ \implies&& \ell(\ell+1) &= \ell^{\prime}(\ell^{\prime}-1) \\ \implies&& \ell(\ell+1) - \ell^{\prime}(\ell^{\prime}-1) &= 0 \\ \implies&& ( \ell^{\prime} + \ell )(\ell^{\prime} -(\ell+1) ) &= 0 \\ \end{align*} $$
したがって、 $\ell^{\prime} = \ell + 1$ か $\ell^{\prime} = -\ell$ です。しかし、 $\ell^{\prime}\hbar$ は最も小さい固有値で、 $\ell \hbar$ は最も大きい固有値なので、 $\ell^{\prime} = \ell + 1$ にはならない。したがって次を得る。
$$ \ell^{\prime} = -\ell $$
つまり、 $L_{z}$の固有値 $m$（今後は $\mu$の代わりに $m$と表記する）の最大値は $\ell\hbar$で最小値は $-\ell\hbar$である。
$$ -\ell\hbar \le m \le \ell \hbar $$
つまり、一番大きな固有値が $\ell \hbar$だから、 $L_{-}$ を同時固有関数に適用すると、対応する固有値は順番に $\ell \hbar$ 、 $(\ell - 1)\hbar$ 、 $(\ell - 2)\hbar$ 、 $\dots$ 、 $(-\ell + 1)\hbar$ 、 $-\ell \hbar$と変わる。 すべての状態の数を $n+1$個とすると、 $\ell - n = -\ell$ で $\ell = \dfrac{n}{2}$である。したがって、可能な $\ell$ の値は整数または半整数(整数の半分)である。また、可能な $m$の範囲は $-\ell, -\ell+1, -\ell+2, \cdots , \ell-2, \ell-1, \ell$ である。したがって、可能な $m$の値の数は $2\ell+1$個である。
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