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角運動量の同時固有関数 📂量子力学

角運動量の同時固有関数

定理

角運動量演算子 L2L^{2} と LzL_{z}の 規格化された 同時固有関数を ∣l,m⟩\ket{l, m}と表示しよう。これに対する固有値方程式は次の通り。

L2∣ℓ,m⟩=ℓ(ℓ+1)ℏ2∣ℓ,m⟩Lz∣ℓ,m⟩=mℏ∣ℓ,m⟩ \begin{align*} L^{2} \ket{\ell, m} &= \ell(\ell+1)\hbar^{2}\ket{\ell, m} \\ L_{z}\ket{\ell, m} &= m\hbar\ket{\ell, m} \end{align*}

このとき ℓ\ellは整数または半整数のみ可能で、与えられた ℓ\ellに対して mmの最小値は −ℓ-\ell、最大値は ℓ\ellです。

ℓ=0,12,1,32,2,⋯m=−ℓ,−ℓ+1,−ℓ+2,⋯ ,ℓ−2,ℓ−1,ℓ for given ℓ \begin{align*} \ell &= 0, \frac{1}{2}, 1, \frac{3}{2}, 2, \cdots \\ m &= -\ell, -\ell+1, -\ell+2, \cdots , \ell-2, \ell-1, \ell \quad \text{ for given } \ell \end{align*}

説明

このとき ℓ\ellの値が整数のときは 軌道角運動量に対する固有値方程式です。軌道角運動量は古典的に知っている角運動量と同じです。半整数の場合はスピン角運動量と呼ばれ、 L\mathbf Lの代わりに S\mathbf Sとして表記します。これは古典的に対応する物理量のない、量子現象でのみ現れる固有の物理量です。二つの演算子 L2,LzL^{2}, L_{z}に対する同時固有関数は ℓ,m\ell, mで区別されるため ∣ℓ,m⟩\ket{\ell, m}として表記します。

誘導

角運動量演算子 L2L^{2}と LzL_{z}は交換可能です。

[L2,Lz]=0 \left[ L^{2}, L_{z} \right] = 0

交換可能な二つの演算子は同時固有関数を持つため、 L2L^{2}と LzL_{z}の規格化された同時固有関数を ∣ψ⟩\ket{\psi}とし、各固有値を λ\lambda , μ\muとしよう。すると、固有値方程式は次の通り。

L2∣ψ⟩=λ∣ψ⟩Lz∣ψ⟩=μ∣ψ⟩ \begin{align*} L^{2} \ket{\psi} &= \lambda \ket{\psi} \\ L_{z}\ket{\psi} &= \mu\ket{\psi} \end{align*}

角運動量演算子 LzL_{z}のラダー演算子

L±=Lx±iLyL2=L−L++Lz2+ℏLz=L+L−+Lz2−ℏLz \begin{align*} L_{\pm} &= L_{x} \pm \i L_{y} \\ L^{2} &= L_{-}L_{+} + {L_{z}}^{2} + \hbar L_{z} \\ &= L_{+}L_{-} + {L_{z}}^{2} - \hbar L_{z} \\ \end{align*}

ラダー演算子 L±L_{\pm}が LzL_{z}と L2L^{2}の同時固有関数に適用された場合、 LzL_{z}に対する固有値は ±ℏ\pm \hbarだけ変化し、 L2L^{2}に対する固有値は変化しません。

Lz(L±∣ψ⟩)=(μ±ℏ)L±∣ψ⟩L2(L±∣ψ⟩)=λL±∣ψ⟩ \begin{align*} L_{z} (L_\pm \ket{\psi}) &= (\mu \pm \hbar)L_\pm \ket{\psi} \\ L^{2} (L_\pm \ket{\psi}) &= \lambda L_\pm \ket{\psi} \end{align*}

この事実は重要な意味を持っており、 L±L_{\pm}が L2L^{2}の固有値を変化させないため、 LzL_{z}の固有値が無限大に大きくなることはできません。 L2=Lx2+Ly2+Lz2L^{2} = {L_{x}}^{2} + {L_{y}}^{2} + {L_{z}}^{2} であり、固有関数は規格化されているので、期待値を計算してみると、

⟨L2⟩=⟨Lx2⟩+⟨Ly2⟩+⟨Lz2⟩ \braket{L^{2}} = \braket{{L_{x}}^{2}} + \braket{{L_{y}}^{2}} + \braket{{L_{z}}^{2}}

  ⟹  λ=⟨Lx2⟩+⟨Ly2⟩+μ2≥μ2 \implies \lambda = \braket{{L_{x}}^{2}} + \braket{{L_{y}}^{2}} + \mu^{2} \ge \mu^{2}

したがって、 LzL_{z}の固有値は一定の大きさ以上に大きくすることはできません。一番大きな固有値を ℓℏ\ell \hbarとし、これに対応する固有関数を ∣ψmax⟩\ket{\psi_{\text{max}}}としよう。すると、次の二つの固有値方程式が得られます。

Lz∣ψmax⟩=ℓℏ∣ψmax⟩L2∣ψmax⟩=λ∣ψmax⟩ \begin{align*} L_{z}\ket{\psi_{\text{max}}} &= \ell \hbar \ket{\psi_{\text{max}}} \\ L^{2}\ket{\psi_{\text{max}}} &= \lambda \ket{\psi_{\text{max}}} \end{align*}

また、 LzL_{z}の固有値が最大の状態では、 LzL_{z}の値が全ての角運動量の値と等しいので、角運動量の xx成分値と yy成分値は 00です。

Lx∣ψmax⟩=Ly∣ψmax⟩=0 L_{x} \ket{\psi_{\text{max}}} = L_{y} \ket{\psi_{\text{max}}} = 0

したがって、次の式が得られます。

L+∣ψmax⟩=L+∣ψmax⟩+iLy∣ψmax⟩=0∣ψmax⟩+i0∣ψmax⟩=0 L_{+} \ket{\psi_{\text{max}}} = L_{+}\ket{\psi_{\text{max}}} + \i L_{y}\ket{\psi_{\text{max}}} = 0\ket{\psi_{\text{max}}} + \i 0\ket{\psi_{\text{max}}} = 0

または物理的な意味がないので、 L+∣ψmax⟩=0L_{+} \ket{\psi_{\text{max}}} = 0としておくと考えてもよいです。 この性質を利用して次のように計算できます。

L2∣ψmax⟩=(L−L++Lz2+ℏLz)∣ψmax⟩=(0+ℓ2ℏ2+ℓℏ2)∣ψmax⟩=ℓ(ℓ+1)ℏ2∣ψmax⟩=λ∣ψmax⟩ \begin{equation} \begin{aligned} L^{2} \ket{\psi_{\text{max}}} &= (L_{-}L_{+} + {L_{z}}^{2} + \hbar L_{z})\ket{\psi_{\text{max}}} \\ &= (0 + \ell^{2}\hbar^{2} + \ell\hbar^{2})\ket{\psi_{\text{max}}} \\ &= \ell(\ell + 1)\hbar^{2} \ket{\psi_{\text{max}}} \\ &= \lambda \ket{\psi_{\text{max}}} \end{aligned} \end{equation}

したがって、 λ=ℓ(ℓ+1)ℏ2\lambda = \ell(\ell + 1)\hbar^{2}です。同じ論理で LzL_{z}の固有値が最も低い状態 ∣ψmin⟩\ket{\psi_{\text{min}}}が存在することがわかります。 この状態に L−L_{-}を取った値は物理的に意味がないため、 00にするのが合理的です。

L−∣ψmin⟩=0 L_{-}\ket{\psi_{\text{min}}} = 0

最も低い状態の固有値を ℓ′ℏ\ell^{\prime} \hbarとすると、固有値方程式は次の通り。

Lz∣ψmin⟩=ℓ′ℏ∣ψmin⟩L2∣ψmin⟩=λ∣ψmin⟩ \begin{align*} L_{z}\ket{\psi_{\text{min}}} &= \ell^{\prime} \hbar \ket{\psi_{\text{min}}} \\ L^{2}\ket{\psi_{\text{min}}} &= \lambda \ket{\psi_{\text{min}}} \end{align*}

そして、同様に次の式が成り立ちます。

L2∣ψmin⟩=(L+L−+Lz2−ℏLz)∣ψmin⟩=(0+ℓ′2ℏ2−ℓ′ℏ2)∣ψmin⟩=ℓ′(ℓ′−1)ℏ2∣ψmin⟩=λ∣ψmin⟩ \begin{equation} \begin{aligned} L^{2} \ket{\psi_{\text{min}}} &= (L_{+}L_{-} + {L_{z}}^{2} - \hbar L_{z})\ket{\psi_{\text{min}}} \\ &= (0 + {\ell^{\prime}}^{2}\hbar^{2} - \ell^{\prime}\hbar^{2})\ket{\psi_{\text{min}}} \\ &= \ell^{\prime}(\ell^{\prime}-1)\hbar^{2} \ket{\psi_{\text{min}}} \\ &= \lambda \ket{\psi_{\text{min}}} \end{aligned} \end{equation}

(1)(1) と (2)(2)から次の式が得られます。

λ=ℓ(ℓ+1)ℏ2λ=ℓ′(ℓ′−1)ℏ2 \begin{align*} \lambda &= \ell(\ell+1)\hbar^{2} \\ \lambda &= \ell^{\prime}(\ell^{\prime}-1)\hbar^{2} \\ \end{align*}

即ち、以下の式が成立します。

ℓ(ℓ+1)ℏ2=ℓ′(ℓ′−1)ℏ2  ⟹  ℓ(ℓ+1)=ℓ′(ℓ′−1)  ⟹  ℓ(ℓ+1)−ℓ′(ℓ′−1)=0  ⟹  (ℓ′+ℓ)(ℓ′−(ℓ+1))=0 \begin{align*} && \ell(\ell+1)\hbar^{2} &= \ell^{\prime}(\ell^{\prime}-1)\hbar^{2} \\ \implies&& \ell(\ell+1) &= \ell^{\prime}(\ell^{\prime}-1) \\ \implies&& \ell(\ell+1) - \ell^{\prime}(\ell^{\prime}-1) &= 0 \\ \implies&& ( \ell^{\prime} + \ell )(\ell^{\prime} -(\ell+1) ) &= 0 \\ \end{align*}

したがって、 ℓ′=ℓ+1\ell^{\prime} = \ell + 1 か ℓ′=−ℓ\ell^{\prime} = -\ell です。しかし、 ℓ′ℏ\ell^{\prime}\hbar は最も小さい固有値で、 ℓℏ\ell \hbar は最も大きい固有値なので、 ℓ′=ℓ+1\ell^{\prime} = \ell + 1 にはならない。したがって次を得る。

ℓ′=−ℓ \ell^{\prime} = -\ell

つまり、 LzL_{z}の固有値 mm（今後は μ\muの代わりに mmと表記する）の最大値は ℓℏ\ell\hbarで最小値は −ℓℏ-\ell\hbarである。

−ℓℏ≤m≤ℓℏ -\ell\hbar \le m \le \ell \hbar

つまり、一番大きな固有値が ℓℏ\ell \hbarだから、 L−L_{-} を同時固有関数に適用すると、対応する固有値は順番に ℓℏ\ell \hbar 、 (ℓ−1)ℏ(\ell - 1)\hbar 、 (ℓ−2)ℏ(\ell - 2)\hbar 、 …\dots 、 (−ℓ+1)ℏ(-\ell + 1)\hbar 、 −ℓℏ-\ell \hbarと変わる。 すべての状態の数を n+1n+1個とすると、 ℓ−n=−ℓ\ell - n = -\ell で ℓ=n2\ell = \dfrac{n}{2}である。したがって、可能な ℓ\ell の値は整数または半整数(整数の半分)である。また、可能な mmの範囲は −ℓ,−ℓ+1,−ℓ+2,⋯ ,ℓ−2,ℓ−1,ℓ-\ell, -\ell+1, -\ell+2, \cdots , \ell-2, \ell-1, \ell である。したがって、可能な mmの値の数は 2ℓ+12\ell+1個である。

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