📂線形代数

직합의 성질

定理¹

$W_{1}, W_{2}, \dots, W_{k}$を有限次元 ベクトル空間 $V$の部分空間とする。次の命題はすべて同値である。

1. $V = W_{1} \oplus W_{2} \oplus \cdots \oplus W_{k}$
2. $V = \sum\limits_{i=1}^{k}W_{i}$であり、任意のベクトル $v_{i} \in W_{i}(1 \le i \le k)$に対して、$v_{1} + \cdots v_{k} = 0$ならば、すべての $i$に対して $v_{i} = 0$である。
3. すべての $v \in V$は $v = v_{1} + \cdots + v_{k} (v_{i} \in W_{i})$の形で一意に表現される。
4. $\gamma_{i}$が $W_{i}$の順序基底であれば、$\gamma_{1} \cup \cdots \cup \gamma_{k}$が $V$の順序基底である。
5. $\gamma_{1} \cup \cdots \cup \gamma_{k}$が $V$の順序基底となるような $W_{i}$の順序基底 $\gamma_{i}$が存在する。

説明

$V$の2つの部分空間 $W_{1}, W_{2}$に対して、

• $W_{1} + W_{2}$は $W_{1}, W_{2}$の和である。
• $W_{1} \oplus W_{2}$は $W_{1}, W_{2}$の直和である。

証明

• $1. \implies 2.$

  1.を仮定しよう。すると $V = \sum\limits_{i=1}^{k}W_{i}$である。そして $v_{i} + \cdots v_{k} = 0 (v_{i} \in W_{i})$としよう。するとある $j$に対して、 $$-v_{j} = \sum\limits_{i\ne j}v_{i} \in \sum\limits_{i\ne j}W_{i}$$ しかし $v_{j} \in W_{j}$なので、次を得る。 $$-v_{j} \in W_{j} \cap \sum\limits_{i\ne j}W_{i} = \left\{ 0 \right\}$$ したがってすべての $i$に対して、$v_{i} = 0$である。

• $2. \implies 3.$

  2.を仮定しよう。$v \in V$としよう。すると仮定により $v = v_{1} + \cdots + v_{k}$の形の $v_{i} \in W_{i}$が存在する。もう一つの表現 $v = w_{1} + \cdots + w_{k}\ (w_{i} \in W_{i})$が存在すると仮定しよう。すると次を得る。 $$0 = v - v = (v_{1} - w_{1}) + \cdots + (v_{k} - w_{k})$$ したがって $v_{i} - w_{i} \in W_{i}$であり、2.を仮定したので、すべての $i$に対して $v_{i} - w_{i} = 0$である。よって $v = v_{1} + \cdots + v_{k}$は一意な表現である。

• $3. \implies 4.$

  3.を仮定しよう。$\gamma_{i}$を$W_{i}$の順序基底としよう。仮定により $V = \sum\limits_{i=1}^{k}W_{i}$である。これは $\gamma_{1} \cup \cdots \cup \gamma_{k}$が $V$を生成することを意味する。次にこの集合が線形独立であることを示すために $v_{ij} \in \gamma_{j}$であり、スカラー $a_{ij}$に対して $\sum\limits_{i,j} a_{ij} v_{ij} = 0$ $(j = 1,\dots,m_{i},\ i=1,\dots,k)$と仮定しよう。各$i$に対して、 $$w_{i} = \sum_{j=1}^{m_{i}}a_{ij}v_{j}$$ としよう。すべての $i$に対して $0 \in W_{i}$なので、$0 = 0 + \cdots + 0 = w_{1} + \cdots + w_{k}$である。すると仮定によりすべての $i$に対して $w_{i} = 0$である。 $$0 = w_{i} = \sum_{j=1}^{m_{i}}a_{ij}v_{j}$$ しかし、それぞれの $\gamma_{i}$は基底なので線形独立であり、したがってすべての $i,j$に対して $a_{ij} = 0$である。ゆえに $\gamma_{1} \cup \cdots \cup \gamma_{k}$は線形独立であり、$V$の基底である。

• $4. \implies 5.$

  自明である。

• $5. \implies 1.$

  5.を仮定しよう。各$i$に対して $\gamma_{i}$を $\gamma_{1} \cup \cdots \cup \gamma_{k}$が $V$の順序基底になるようにする $W_{i}$の順序基底としよう。すると、和集合の生成と生成の和が等しいので, $$\begin{align*} V &= \span(\gamma_{1} \cup \cdots \cup \gamma_{k}) \\ &= \span(\gamma_{1}) + \cdots + \span(\gamma_{k}) \\ &= \sum\limits_{i=1}^{k}W_{i} \end{align*}$$ 次に排他的であることを証明するために $j (1 \le j \le k)$を固定し、零ベクトルでない $v \in V$に対して次のように仮定しよう。 $$v \in W_{j} \cap \sum\limits_{i \ne j} W_{i}$$ 交わりの定義により、次が成立する。 $$v \in W_{j} = \span \gamma_{j}, \qquad v \in \sum\limits_{i \ne j} W_{i} = \span(\bigcup_{i \ne j} \gamma_{i})$$ すると $v$は $V$の基底 $\gamma_{1} \cup \cdots \cup \gamma_{k}$の異なる2つの線形結合を持つ。これは基底に対する線形結合が一意である事実に反するので仮定が間違っていることがわかる。したがって零ベクトルでない $V$の元は $W_{j} \cap \sum\limits_{i \ne j} W_{i}$に属さない。 $$W_{j} \cap \sum\limits_{i \ne j} W_{i} = \left\{ 0 \right\}$$

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