📂線形代数

商空間の基底と次元

定理¹

$V$を$n$次元のベクトル空間、$W \le V$を$k$次元の部分空間とする。$W$の基底を$\left\{ u_{1}, \dots, u_{k} \right\}$としよう。そして、この基底を拡張した$V$の基底を$\left\{ u_{1}, \dots, u_{k}, u_{k+1}, \dots, u_{n} \right\}$とすると、

• $\left\{ u_{k+1} + W, \dots, u_{n} + W \right\}$は商空間$V/W$の基底だ。

• $\dim(V) = \dim(V/W) + \dim(W)$

説明

次元に関する結果は、他の証明からも得られる。

証明

$\beta = \left\{ u_{k+1} + W, \dots, u_{n} + W \right\}$とする。

• $\beta$は線形独立だ。

  $V/W$の零ベクトルは$W$であるため、次の方程式を満たす解は$a_{k+1} = \cdots = a_{n} = 0$のみでなければならない。

  $$ a_{k+1}(u_{k+1} + W) + \cdots + a_{n}(u_{n} + W) = W $$

  $V/W$で定義された加算に従って、

  $$ \begin{align*} a_{k+1}(u_{k+1} + W) + \cdots + a_{n}(u_{n} + W) &= (a_{k+1}u_{k+1} + \cdots + a_{n}u_{n}) + W \\ &= 0_{V} + W \end{align*} $$

  この時、$0_{V}$は$V$の零ベクトルである。仮定により$u_{k+1}, \dots, u_{n}$たちは線形独立であるため、

  $$ a_{k+1}u_{k+1} + \cdots + a_{n}u_{n} = 0_{V} \implies a_{k+1} = \cdots = a_{n} = 0 $$

• $\span \beta = V/W$

  $w \in W$により$w + W = W$であるため、任意の$v \in V$に対して、

  $$ \begin{align*} v + W &= (a_{1}u_{1} + \cdots + a_{k}u_{k} + a_{k+1}u_{k+1} + \cdots + a_{n}u_{n}) + W \\ &= (a_{k+1}u_{k+1} + \cdots + a_{n}u_{n}) + W \\ &= (a_{k+1}u_{k+1} + W) + \cdots + (a_{n}u_{n} + W) \\ \end{align*} $$

したがって、$\beta$は$V/W$の基底である。従って、

$$ \begin{align*} \dim(V) &= \dim(V/W) + \dim(W) \\ n &= (n-k) + k \end{align*} $$

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