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## 定理[^1]

[^1]: Stephen H. Friedberg, *Linear Algebra* (4th Edition, 2002), p58

$V$を[$n$次元](../3018)の[ベクトル空間](../282)、$W \le V$を$k (\lt n)$次元の[部分空間](../285)とする。$W$の[基底](../3017)を$\left\\{ u\_{1}, \dots, u\_{k} \right\\}$とする。さらに、この基底を[拡張した](../3321)$V$の基底を$\left\\{ u\_{1}, \dots, u\_{k}, u\_{k+1}, \dots, u\_{n} \right\\}$とする。このとき、

- $\left\\{ u\_{k+1} + W, \dots, u\_{n} + W \right\\}$は[剰余空間](../3359)$V/W$の基底である。
  
- $\dim(V) = \dim(V/W) + \dim(W)$

## 説明

次元に関する結果は[別の証明](../3359)でも得ることができる。

## 証明

$\beta = \left\\{ u\_{k+1} + W, \dots, u\_{n} + W \right\\}$とする。

- $\beta$は[線形独立](../253)である。

  [$V/W$の零ベクトルは$W$](../3359)であるため、次の式を成り立たせる解は$a\_{k+1} = \cdots = a\_{n} = 0$しかないことを示さなければならない。

  $$
  a\_{k+1}(u\_{k+1} + W) + \cdots + a\_{n}(u\_{n} + W) = W
  $$

  [$V/W$で定義された加算](../3359)によれば、

  $$
  \begin{align*}
  a\_{k+1}(u\_{k+1} + W) + \cdots + a\_{n}(u\_{n} + W) &= (a\_{k+1}u\_{k+1} + \cdots + a\_{n}u\_{n}) + W \\\ 
  &= W
  \end{align*}
  $$

  > [補助定理](../3359)
  >
  > **(b)** $v\_{1}, v\_{2} \in V$について、$v\_{1} + W = v\_{2} + W$であることは$v\_{1} - v\_{2} \in W$であることと同値である。
  >  
  > **(c)** $V/W$はベクトル空間であり、零ベクトルは$0\_{V} + W = W$である。($0\_{V}$は$V$の零ベクトルである。)

  すると、上記の補助定理により次が得られる。
  
  $$
  (a\_{k+1}u\_{k+1} + \cdots + a\_{n}u\_{n}) + W = 0\_{V} + W
  $$
  $$
  \implies a\_{k+1}u\_{k+1} + \cdots + a\_{n}u\_{n} - 0\_{V} = a\_{k+1}u\_{k+1} + \cdots + a\_{n}u\_{n} \in W \tag{1}
  $$

  $u\_{k+1}, \dots, u\_{n}$は定義により明らかに$W$の要素ではない。

  $$
  u\_{k+1}, \dots, u\_{n} \notin W \tag{2}
  $$

  しかし、$u\_{k+1}, \dots, u\_{n}$は線形独立であるため、$(1)$と$(2)$を同時に満たすには$a\_{k+1}u\_{k+1} + \cdots + a\_{n}u\_{n} = 0\_{V} = 0\_{W}$でなければならない。したがって次が得られる。
  
  $$
  a\_{k+1} = \cdots = a\_{n} = 0
  $$

- $\span \beta = V/W$
  
  $w \in W$について$w + W = W$であるから、任意の$v \in V$について、

  $$
  \begin{align*}
  v + W
  &= (a\_{1}u\_{1} + \cdots + a\_{k}u\_{k} + a\_{k+1}u\_{k+1} + \cdots + a\_{n}u\_{n}) + W \\\ 
  &= (a\_{k+1}u\_{k+1} + \cdots + a\_{n}u\_{n}) + W \\\ 
  &= (a\_{k+1}u\_{k+1} + W) + \cdots + (a\_{n}u\_{n} + W) \\\ 
  \end{align*}
  $$

したがって、$\beta$は$V/W$の基底である。したがって

$$
\begin{align*}
\dim(V) &= \dim(V/W) + \dim(W) \\\ 
n &= (n-k) + k
\end{align*}
$$

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