📂線形代数

対角化可能な線形変換の不変部分空間への制限も対角化可能である

定理¹

$V$をベクトル空間とし、$T : V \to V$を対角化可能な 線形変換とし、$W \le V$を空集合ではない$T$-不変部分空間とする。すると、縮小写像 $T|_{W}$も対角化可能である。

証明

対角化可能な線形変換の特性多項式は分解されるため、$n = \dim(V)$個の固有値 $\lambda$が存在する。 $E_{\lambda}$を$\lambda$に対応する固有空間としよう。

$$ E_{\lambda} = \left\{ v \in V : Tv = \lambda v \right\} $$

$W_{\lambda} = E_{\lambda} \cap W$とすると、$W$が$T$-不変であるため、$\lambda$に対応する$T|_{W}$の固有空間になる。

$$ W_{\lambda} = \left\{ v \in W : T|_{W}v = \lambda v \right\} $$

$\beta_{\lambda}$を$W_{\lambda}$の基底としよう。$\beta = \bigcup\limits_{\lambda} \beta_{\lambda}$が$W$の基底になることを示す。

• $\beta$は線形独立である。

  異なる固有空間の線形独立な集合の合併は線形独立であるため、$\beta$は$W$上で線形独立である。

• $\beta$は$W$を生成する。

  $T$が対角化可能であるため、$V$内の全てのベクトルは$T$の（線形独立な）固有ベクトルの線形結合として表現できる。$W$は$V$の部分空間であるため、$W$内の全てのベクトルも同様に表現できる。

  補題

  $V$を$n$次元ベクトル空間、$T : V \to V$を線形変換、$W$を$T$-不変としよう。$v_{1}, \dots, v_{k}$を異なる固有値に対応する$T$の固有ベクトルとする。もし$v_{1} + \cdots + v_{k} \in W$ならば、全ての$i$に対して$v_{i} \in W$が当てはまる。

  したがって、補題と$\beta$の定義により、$W$の全ての元は$\beta$の線形結合として表現できることがわかる。

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関連項目

• 別の証明