📂線形代数

有限次元の線形変換の固有値と固有ベクトル

定義¹

$V$を有限次元$F$-ベクトル空間としよう。$T : V \to V$を線形変換とする。$\lambda \in F$について、 $$Tx = \lambda x$$ これを満たすゼロベクトルではない$x \in V$を$T$の固有ベクトル^eigenvectorと呼ぶ。

この時のスカラー$\lambda \in F$を固有ベクトル$x$に対応する固有値^eigenvalueと呼ぶ。

説明

固有ベクトルをcharacteristic vectorやproper vectorで、固有値をcharacteristic valueやproper valueで置き換えれることもあるが、筆者は見たことがない。

固有値と固有ベクトルは、線形変換の対角化と関連がある。

定理

$n$次元ベクトル空間$V$上の線形変換$T : V \to V$が対角化可能であるのは、$T$の固有ベクトルからなる$V$の順序基底$\beta$が存在する場合、かつその場合に限る。つまり$T$が対角化可能であるのは、$T$の固有ベクトルが$n$個の線形独立する場合と同じである。

さらに$T$が対角化可能であり、$\beta = \left\{ v_{1}, \dots, v_{n} \right\}$が$T$の固有ベクトルの順序基底であり、$D = \begin{bmatrix} T \end{bmatrix}_{\beta}$である場合、$D$は対角行列で、$D_{jj}$は$v_{j}$に対応する固有値である。

参照

• 行列の固有値、固有ベクトル