ベクトルの座標変換
概要1 2
$V$を$n$次元 ベクトル空間としよう。$\mathbf{v} \in V$とする。$\beta$を$V$のある順序基底とすると、$\mathbf{v}$は座標ベクトル$[\mathbf{v}]_{\beta}$として表される。別の順序基底$\beta ^{\prime}$が与えられると、$\mathbf{v}$はそれに対する座標ベクトル$[\mathbf{v}]_{\beta^{\prime}}$としても表される。ベクトルの座標変換とは、これら二つの座標ベクトルの関係式を言う。
ビルドアップ
便宜上、$V$の次元を$n = 2$としよう。$\beta = \left\{ \mathbf{u}_{1}, \mathbf{u}_{2} \right\}$を$V$の順序基底とし、別の順序基底$\beta^{\prime} = \left\{ \mathbf{u}_{1}^{\prime}, \mathbf{u}_{2}^{\prime} \right\}$を考える。$\beta ^{\prime}$のベクトルの$\beta$に対する座標ベクトルが次のように与えられたとしよう。
$$ [\mathbf{u}_{1}^{\prime}]_{\beta} = \begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix} \quad \text{and} \quad [\mathbf{u}_{2}^{\prime}]_{\beta} = \begin{bmatrix} c \\ d \end{bmatrix} $$
つまり、次の式が成立する。
$$ \begin{equation} \begin{aligned} \mathbf{u}_{1}^{\prime} &= a\mathbf{u}_{1} + b\mathbf{u}_{2} \\ \mathbf{u}_{2}^{\prime} &= c\mathbf{u}_{1} + d\mathbf{u}_{2} \end{aligned} \end{equation} $$
今、あるベクトル$\mathbf{v} \in V$を選び、$\beta^{\prime}$に対する座標ベクトルが次のようだとしよう。
$$ \begin{equation} [\mathbf{v}]_{\beta^{\prime}} = \begin{bmatrix} k_{1} \\ k_{2} \end{bmatrix} \end{equation} $$
$$ \mathbf{v} = k_{1}\mathbf{u}_{1}^{\prime} + k_{2}\mathbf{u}_{2}^{\prime} $$
この式に$(1)$を代入すると、
$$ \begin{align*} \mathbf{v} &= k_{1}(a\mathbf{u}_{1} + b\mathbf{u}_{2}) + k_{2}(c\mathbf{u}_{1} + d\mathbf{u}_{2}) \\ &= (k_{1}a + k_{2}c)\mathbf{u}_{1} + (k_{1}b + k_{2}d)\mathbf{u}_{2} \end{align*} $$
$$ [\mathbf{v}]_{\beta} = \begin{bmatrix} (k_{1}a + k_{2}c) \\ (k_{1}b + k_{2}d) \end{bmatrix} $$
このとき、$(2)$を使用して上の式を整理すると
$$ \begin{align*} [\mathbf{v}]_{\beta} &= \begin{bmatrix} (k_{1}a + k_{2}c) \\ (k_{1}b + k_{2}d) \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} a & c \\ b & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} k_{1} \\ k_{2} \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} a & c \\ b & d \end{bmatrix} [\mathbf{v}]_{\beta^{\prime}} \\ \end{align*} $$
ここで$Q = \begin{bmatrix} a & c \\ b & d \end{bmatrix}$とすると、$\beta$に対する座標ベクトルは、$\beta^{\prime}$に対する座標ベクトルに行列$Q$を乗じて得られることが分かる。また、$Q$の各列は、$\beta^{\prime}$の$\beta$に対する座標ベクトルで構成されている。
$$ [\mathbf{v}]_{\beta} = Q[\mathbf{v}]_{\beta^{\prime}} = \begin{bmatrix} [\mathbf{u}_{1}^{\prime}]_{\beta} & [\mathbf{u}_{2}^{\prime}]_{\beta} \end{bmatrix} [\mathbf{v}]_{\beta^{\prime}} \quad \forall \mathbf{v} \in V $$
したがって、$Q = \begin{bmatrix} I \end{bmatrix}_{\beta^{\prime}}^{\beta}$であることが分かる。$I$は恒等変換である。
定義
$\beta, \beta^{\prime}$を$n$次元ベクトル空間$V$の二つの順序基底としよう。$Q = \begin{bmatrix} I \end{bmatrix}_{\beta^{\prime}}^{\beta}$を座標変換行列または遷移行列という。$\mathbf{v} \in V$について、下の数式
$$ [\mathbf{v}]_{\beta} = Q [\mathbf{v}]_{\beta^{\prime}} $$
が$Q$が$\beta^{\prime}$-座標を$\beta$-座標に変換することを指す。
説明
具体的に$\beta = \left\{ \mathbf{u}_{1}, \dots, \mathbf{u}_{n} \right\}$、$\beta^{\prime} = \left\{ \mathbf{u}_{1}^{\prime}, \dots, \mathbf{u}_{n}^{\prime} \right\}$とすると、
$$ Q = \begin{bmatrix} [\mathbf{u}_{1}^{\prime}]_{\beta} & \cdots & [\mathbf{u}_{n}^{\prime}]_{\beta} \end{bmatrix} $$
$$ \mathbf{u}_{j}^{\prime} = \sum_{i} Q_{ij}\mathbf{u}_{i} $$
$Q$が$\beta^{\prime}$-座標を$\beta$-座標に変換すると、$Q^{-1}$は$\beta$-座標を$\beta^{\prime}$-座標に変換する。
定理
$\beta, \beta^{\prime}$を$n$次元ベクトル空間$V$の二つの順序基底としよう。$Q = \begin{bmatrix} I \end{bmatrix}_{\beta^{\prime}}^{\beta}$としよう。その場合、
(a) $Q$は可逆行列である。
(b) $\forall \mathbf{v} \in V$、$[\mathbf{v}]_{\beta} = Q [\mathbf{v}]_{\beta^{\prime}}$
証明
(a)
線形変換$T$が可逆であることは、$\begin{bmatrix} T \end{bmatrix}_{\beta}^{\gamma}$が可逆であることと同値である。
恒等変換$I$が可逆であるので、補助定理により$Q$は可逆である。
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(b)
$$ [\mathbf{v}]_{\beta} = \begin{bmatrix} I(\mathbf{v}) \end{bmatrix}_{\beta} = \begin{bmatrix} I \end{bmatrix}_{\beta^{\prime}}^{\beta} [\mathbf{v}]_{\beta^{\prime}} = Q [\mathbf{v}]_{\beta^{\prime}} $$
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