二項演算のヤコビ恒等式
定義
集合 $S$と二項演算 $\ast : S \times S \to S$、可換な二項演算 $+ : S \times S \to S$に対して、次の形の式をヤコビ恒等式Jacobi identityという。
$$ a \ast (b \ast c) + c \ast (a \ast b) + b \ast (c \ast a) = 0,\quad a,b,c \in S $$
上の式が成り立つ場合、$\ast$がヤコビ恒等式を満たすという。
説明
変数を回転させて全部足したとき $0$になる式のこと。
ベクトル積(外積) $\times$はヤコビ恒等式を満たす。
$$ \mathbf{x} \times (\mathbf{y} \times \mathbf{z}) + \mathbf{z} \times (\mathbf{x} \times \mathbf{y}) + \mathbf{y} \times (\mathbf{z} \times \mathbf{x}) = 0 $$
環 $(R, + , \cdot)$で交換子 $[a, b] = ab - ba$はヤコビ恒等式を満たす。
$$ \begin{align*} &a \ast (b \ast c) + c \ast (a \ast b) + b \ast (c \ast a) \\ &= a \ast (bc- cb) + c \ast (ab - ba) + b \ast (ca - ac) \\ &= (({\color{red}\cancel{\color{black}abc}} - {\color{blue}\cancel{\color{black}acb}}) - ({\color{green}\cancel{\color{black}bca}} - {\color{black}\cancel{\color{black}cba}})) + (({\color{magenta}\cancel{\color{black}cab}} - {\color{black}\cancel{\color{black}cba}}) - ({\color{red}\cancel{\color{black}abc}} - {\color{orange}\cancel{\color{black}bac}})) \\ & \quad + (({\color{green}\cancel{\color{black}bca}} - {\color{orange}\cancel{\color{black}bac}}) - ({\color{magenta}\cancel{\color{black}cab}} - {\color{blue}\cancel{\color{black}acb}})) \\ &= 0 \end{align*} $$
二つの行列 $A, B \in M_{n \times n}$の交換子 $[A, B] = AB - BA$はヤコビ恒等式を満たす。
ベクトル場のリー括弧 $[X, Y] = XY - YX$はヤコビ恒等式を満たす。