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二項演算のヤコビ恒等式 📂抽象代数

二項演算のヤコビ恒等式

定義

集合 SSと二項演算 ∗:S×S→S\ast : S \times S \to S、可換な二項演算 +:S×S→S+ : S \times S \to Sに対して、次の形の式をヤコビ恒等式Jacobi identityという。

a∗(b∗c)+c∗(a∗b)+b∗(c∗a)=0,a,b,c∈S a \ast (b \ast c) + c \ast (a \ast b) + b \ast (c \ast a) = 0,\quad a,b,c \in S

上の式が成り立つ場合、∗\astがヤコビ恒等式を満たすという。

説明

変数を回転させて全部足したとき 00になる式のこと。

  • ベクトル積(外積) ×\timesはヤコビ恒等式を満たす。

    x×(y×z)+z×(x×y)+y×(z×x)=0 \mathbf{x} \times (\mathbf{y} \times \mathbf{z}) + \mathbf{z} \times (\mathbf{x} \times \mathbf{y}) + \mathbf{y} \times (\mathbf{z} \times \mathbf{x}) = 0

  • 環 (R,+,⋅)(R, + , \cdot)で交換子 [a,b]=ab−ba[a, b] = ab - baはヤコビ恒等式を満たす。

    a∗(b∗c)+c∗(a∗b)+b∗(c∗a)=a∗(bc−cb)+c∗(ab−ba)+b∗(ca−ac)=((abc−acb)−(bca−cba))+((cab−cba)−(abc−bac))+((bca−bac)−(cab−acb))=0 \begin{align*} &a \ast (b \ast c) + c \ast (a \ast b) + b \ast (c \ast a) \\ &= a \ast (bc- cb) + c \ast (ab - ba) + b \ast (ca - ac) \\ &= (({\color{red}\cancel{\color{black}abc}} - {\color{blue}\cancel{\color{black}acb}}) - ({\color{green}\cancel{\color{black}bca}} - {\color{black}\cancel{\color{black}cba}})) + (({\color{magenta}\cancel{\color{black}cab}} - {\color{black}\cancel{\color{black}cba}}) - ({\color{red}\cancel{\color{black}abc}} - {\color{orange}\cancel{\color{black}bac}})) \\ & \quad + (({\color{green}\cancel{\color{black}bca}} - {\color{orange}\cancel{\color{black}bac}}) - ({\color{magenta}\cancel{\color{black}cab}} - {\color{blue}\cancel{\color{black}acb}})) \\ &= 0 \end{align*}

    • 二つの行列 A,B∈Mn×nA, B \in M_{n \times n}の交換子 [A,B]=AB−BA[A, B] = AB - BAはヤコビ恒等式を満たす。

    • ベクトル場のリー括弧 [X,Y]=XY−YX[X, Y] = XY - YXはヤコビ恒等式を満たす。