📂幾何学

微分形式の演算：和とウェッジ積

定義¹

和 $+$

$\omega = \sum\limits_{I} a_{I} dx_{I}, \varphi = \sum\limits_{I} b_{I} dx_{I}$が$k$形式だとする。これら二つの和は以下のように定義される。

$$ \omega + \varphi := \sum\limits_{I}\left( a_{I} + b_{I} \right)dx_{I} $$

ウェッジ積 $\wedge$

$\omega = \sum\limits_{I} a_{I}dx_{I}$、$\varphi = \sum\limits_{J} b_{J}dx_{J}$をそれぞれ$k$形式、$s$形式だとしよう。すると、これら二つのウェッジ積は以下のように定義される。

$$ \omega \wedge \varphi = \sum \limits_{I,J} a_{I}b_{J} dx_{I} \wedge dx_{J} $$

説明

$M$を$n$次元微分多様体だとしよう。（微分多様体が難しいなら、$M=\mathbb{R}^{n}$と考えてもいい。）ウェッジ積 $\wedge$は$T_{p}^{\ast}M$の二つの元$\varphi_{1}, \varphi_{2}$を交代関数 $\varphi_{1} \wedge \varphi_{2}$に変えてくれる。しかも、ウェッジ積自身も交代関数である。つまり、以下が成り立つ。$\varphi_{i} \in T_{p}^{\ast}M$について、

$$ \varphi_{i} \wedge \varphi_{j} = - \varphi_{j} \wedge \varphi_{i} \quad \text{and} \quad \varphi_{i} \wedge \varphi_{i} = 0 $$

定義どおりに計算すれば、簡単に見えるはずだ。

$$ \begin{align*} \left(\varphi_{1} \wedge \varphi_{2}\right)\left(v_{1}, v_{2}\right) =&\ \det \left[\varphi_{i}\left(v_{j}\right)\right] \\ =&\ \begin{vmatrix} \varphi_{1}\left(v_{1}\right) & \varphi_{1}\left(v_{2}\right) \\ \varphi_{2}\left(v_{1}\right) & \varphi_{2}\left(v_{2}\right) \end{vmatrix} \\ =&\ -\begin{vmatrix} \varphi_{2}\left(v_{1}\right) & \varphi_{2}\left(v_{L}\right) \\ \varphi_{1}\left(v_{1}\right) & \varphi_{1}\left(v_{2}\right) \end{vmatrix} \\ =&\ -\left(\varphi_{2} \wedge \varphi_{1}\right)\left(v_{1}, v_{1}\right) \\ \end{align*} $$

$$ \begin{align*} \left(\varphi_{1}, \varphi_{1}\right)\left(v_{1}, v_{2}\right) =&\ \det \left[\varphi_{1}\left(v_{i}\right)\right] \\ =&\ \begin{vmatrix} \varphi_{1}\left(v_{1}\right) & \varphi_{1}\left(v_{2}\right) \\ \varphi_{1}\left(v_{1}\right) & \varphi_{1}\left(v_{2}\right) \end{vmatrix} \\ =&\ 0 \end{align*} $$

定義によって$k$形式と$s$形式のウェッジ積は$k+s$形式である。

また、すべての$i$に対して$dx_{i} \wedge dx_{i} = 0$だが、$\omega \wedge \omega = 0$が成立するわけではない。例えば$\omega = x_{1}dx_{1}\wedge dx_{2} + x2_{2} dx_{3} \wedge dx_{4}$とすると、

$$ \omega \wedge \omega = 2x_{1}x_{2} dx_{1} \wedge dx_{2} \wedge dx_{3} \wedge dx_{4} $$

例

$\omega = x_{1}dx_{1} + x_{2}dx_{2}$を$\mathbb{R}^{3}$の1次形式、$\varphi = x_{1}dx_{1}\wedge dx_{2} + x_{2} dx_{1}\wedge dx_{3} + dx_{2} \wedge dx_{3}$を$\mathbb{R}^{3}$の2次形式だとしよう。すると

$$ \begin{align*} \omega \wedge \varphi =&\ (x_{1}dx_{1} + x_{2}dx_{2}) \wedge (x_{1}dx_{1}\wedge dx_{2} + x_{2} dx_{1}\wedge dx_{3} + dx_{2} \wedge dx_{3}) \\ =&\ x_{1}^{2} \cancel{dx_{1} \wedge dx_{1}\wedge dx_{2}} + x_{1}x_{2}\cancel{dx_{1} \wedge dx_{1}\wedge dx_{3}} + x_{1}dx_{1} \wedge dx_{2} \wedge dx_{3} \\ & + \cancel{x_{1}x_{2}dx_{2} \wedge dx_{1}\wedge dx_{2}} + x_{2}^{2} dx_{2} \wedge dx_{1}\wedge dx_{3} + x_{2}\cancel{dx_{2} \wedge dx_{2} \wedge dx_{3}} \\ =&\ (x_{1}-x_{2}^{2}) dx_{1} \wedge dx_{2} \wedge dx_{3} \end{align*} $$

性質

$\omega$を$k$形式、$\varphi$を$s$形式、$\theta$を$r$形式だとしよう。すると

$$ \begin{align} (\omega \wedge \varphi) \wedge \theta =&\ \omega \wedge (\varphi \wedge \theta) \\ (\omega \wedge \varphi) =&\ (-1)^{ks} (\varphi \wedge \omega) \\ \omega \wedge (\varphi + \theta) =&\ \omega \wedge \varphi + \omega \wedge \theta,\quad \text{if } r=s \end{align} $$

証明

証明(1)

$\omega = \sum\limits_{I} a_{I} dx_{I}$、$\varphi = \sum\limits_{J} b_{J} dx_{J}$、$\vartheta = \sum\limits_{L} c_{L} dx_{L}$とする。

$$ \begin{align*} (\omega \wedge \varphi) \wedge \vartheta =&\ \left( \sum\limits_{I}a_{I}dx_{I} \wedge \sum\limits_{J}b_{J}dx_{J} \right) \wedge \sum\limits_{L} c_{L}dx_{L} \\ =&\ \left( \sum\limits_{I,J}a_{I}b_{J} dx_{I} \wedge dx_{J} \right) \wedge \sum\limits_{L} c_{L}dx_{L} & \text{by definition of } \wedge\\ =&\ \sum\limits_{I,J,L} (a_{I}b_{J})c_{L} (dx_{I} \wedge dx_{J}) \wedge dx_{L} & \text{by definition of } \wedge\\ =&\ \sum\limits_{I,J,L} (a_{I}b_{J})c_{L} dx_{I} \wedge (dx_{J} \wedge dx_{L}) & \text{by property of } \wedge\\ \end{align*} $$

この時$a, b, c$たちは実数値関数なので、積に関する結合法則が成立する。従って、

$$ \begin{align*} (\omega \wedge \varphi) \wedge \vartheta =&\ \sum\limits_{I,J,L} a_{I}(b_{J}c_{L}) dx_{I} \wedge (dx_{J} \wedge dx_{L}) \\ =&\ \sum\limits_{I} a_{I} dx_{I} \wedge \sum\limits_{J,L} b_{J}c_{L} dx_{J} \wedge dx_{L} & \text{by property of } \wedge\\ =&\ \omega \wedge ( \varphi \wedge \vartheta) & \text{by property of } \wedge\\ \end{align*} $$

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証明(2)

$\omega = \sum\limits_{I} a_{I} dx_{I}$、$\varphi = \sum\limits_{J} b_{J} dx_{J}$とする。

$$ \begin{align*} \omega \wedge \varphi =&\ \sum\limits_{I,J} a_{I}b_{J} dx_{I} \wedge dx_{J} \\ =&\ \sum\limits_{I,J} a_{I}b_{J} dx_{i_{1}} \wedge \dots \wedge dx_{i_{k}} \wedge dx_{j_{1}} \wedge \dots \wedge dx_{j_{s}} \\ =&\ \sum\limits_{I,J} a_{I}b_{J} (-1)^{k} dx_{j_{1}} \wedge dx_{i_{1}} \wedge \dots \wedge dx_{i_{k}} \wedge dx_{j_{2}} \wedge \dots \wedge dx_{j_{s}} \\ =&\ \sum\limits_{I,J} a_{I}b_{J} (-1)^{k}(-1)^{k} dx_{j_{1}} \wedge dx_{j_{2}} \wedge dx_{i_{1}} \wedge \dots \wedge dx_{i_{k}} \wedge dx_{j_{3}} \wedge \dots \wedge dx_{j_{s}} \\ &\ \vdots \\ =&\ \sum\limits_{I,J} a_{I}b_{J} (-1)^{ks} dx_{j_{1}} \wedge dx_{j_{2}} \wedge \cdots \wedge dx_{j_{s}} \wedge dx_{i_{1}} \wedge \dots \wedge dx_{i_{k}}\\ =&\ (-1)^{ks} \sum\limits_{I,J} a_{I}b_{J} dx_{I} \wedge dx_{J} \\ =&\ (-1)^{ks} \varphi \wedge \omega \end{align*} $$

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証明(3)

$\omega = \sum\limits_{I} a_{I} dx_{I}$、$\varphi = \sum\limits_{J} b_{J} dx_{J}$、$\vartheta = \sum\limits_{J} c_{J} dx_{J}$とする。

$$ \begin{align*} \omega =&\ \omega \wedge (\varphi + \vartheta) \\ =&\ \omega \wedge \left( \sum\limits_{J} (b_{J} + c_{J}) dx_{J} \right) & \text{by definition of } + \\ =&\ \left( \sum\limits_{I} a_{I} dx_{I} \right)\wedge \left( \sum\limits_{J} (b_{J} + c_{J}) dx_{J} \right) \\ =&\ \sum\limits_{I,J} a_{I}(b_{J} + c_{J})dx_{I}\wedge dx_{J} & \text{by definition of } \wedge\\ \end{align*} $$

この時$a, b, c$たちは実数値関数なので、分配法則が成立する。従って、

$$ \begin{align*} \omega =&\ \sum\limits_{I,J} a_{I}b_{J}dx_{I}\wedge dx_{J} + \sum\limits_{I,J} a_{I}c_{J}dx_{I}\wedge dx_{J} \\ =&\ \omega \wedge \varphi + \omega \wedge \vartheta & \text{by definition of } \wedge\\ \end{align*} $$

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