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余接空間と一階微分形式 📂幾何学

余接空間と一階微分形式

概要

余接空間と微分1形式を定義する。微分多様体が難しいなら、M=RnM = \mathbb{R}^{n}だと思ってもいい。

アインシュタイン表記を使う。

余接空間1

MMnn次元微分多様体とする。すると、点pMp \in Mでの接空間TpMT_{p}Mは、nn次元ベクトル空間(関数空間)になり、基底は{ei=xip}i\left\{ \mathbf{e}_{i} = \left. \frac{\partial }{\partial x_{i}}\right|_{p} \right\}_{i}である。

この時、接空間TpMT_{p} M双対空間TpMT_{p}^{\ast}M余接空間と言う。

TpM:={ψ:TpMR  ψ is continuous and linear} T_{p}^{\ast}M := \left\{ \psi : T_{p}M \to \mathbb{R}\ |\ \psi \text{ is continuous and linear} \right\}

説明

双対空間の性質により、dimTpM=n=dimTpM\dim T_{p}M = n = \dim T_{p}^{\ast}Mであり、双対基底{(dxj)p}\left\{ (dx_{j})_{p} \right\}は次のように定義される関数である。

(dxj)p:TpMR (dx_{j})_{p} : T_{p}M \to \mathbb{R}

(dxj)p(xkp)=δjk={1,j=k0,jk (dx_{j})_{p} \left(\textstyle \left. \frac{\partial }{\partial x_{k}}\right|_{p} \right) = \delta_{jk} = \begin{cases} 1, & j=k \\ 0, & j\ne k \end{cases}

任意のωpTpM\omega_{p} \in T_{p}^{\ast}Mは、基底{(dxj)p}\left\{ (dx_{j})_{p} \right\}に対して次のように表される。

ωp= (ap1,ap2,ap3),apiR= ap1(dx1)p+ap2(dx1)p+ap3(dx3)p \begin{align*} \omega_{p} =&\ (a_{p}^{1}, a_{p}^{2}, a_{p}^{3}),\quad a_{p}^{i} \in \mathbb{R} \\[1em] =&\ a_{p}^{1}(dx_{1})_{p} + a_{p}^{2}(dx_{1})_{p} + a_{p}^{3}(dx_{3})_{p} \end{align*}

それでは、それぞれの点pMp \in MωpTpM\omega_{p} \in T_{p}^{\ast}Mにマッピングする関数ω\omegaを考えよう。

微分1次形式

微分多様体MMの上の各点pMp\in Mを余接空間の元ωpTpM\omega_{p} \in T_{p}^{\ast}Mにマッピングするω\omega1-形式と言う。

ω:MTMpωp \begin{align*} \omega : M &\to T^{\ast}M \\ p &\mapsto \omega_{p} \end{align*}

この時TM=pMTpMT^{\ast}M = \bigcup \limits_{p \in M} T_{p}^{\ast}Mは余接[バンドル]と言う。

説明

1-形式は1次形式とも呼ばれ、英語ではexterior form of degree 1, field of linear form等と呼ばれる。

aia_{i}ai:MRa_{i} : M \to \mathbb{R}でありai(p)=apia_{i}(p) = a_{p}^{i}の関数だとすれば、ωp\omega_{p}は次のように表せる。

ωp=ω(p)= (a1(p),a2(p),a3(p))= a1(p)(dx1)p+a2(p)(dx1)p+a3(p)(dx3)p \begin{align*} \omega_{p} = \omega (p) =&\ (a_{1}(p), a_{2}(p), a_{3}(p)) \\ =&\ a_{1}(p)(dx_{1})_{p} + a_{2}(p)(dx_{1})_{p} + a_{3}(p)(dx_{3})_{p} \end{align*}

するとω\omegaは次のようになる。アインシュタイン記法を使えば、

ω=a1dx1+a2dx2+a3dx3=aidxi \omega = a_{1}dx_{1} + a_{2}dx_{2} + a_{3}dx_{3} = a_{i}dx_{i}

この時、各aia_{i}微分可能な関数ならば、ω\omega1次微分形式と言う。

Rn\mathbb{R}^{n}での11-形式

この抽象的な話では、これの意味を理解するのは難しいだろう。微分形式は、微分積分学でdxdxdydyを自由に扱うことに対する理論的なバックアップを提供する。ユークリッド空間の例を見よう。関数f:RnRf : \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}を考える。すると、ff微分dfp:TpRnTf(p)Rdf_{p} : T_{p}\mathbb{R}^{n} \to T_{f(p)}\mathbb{R}である。vTpRnv \in T_{p}\mathbb{R}^{n}とすると、

v=ivixi=vixi=(v1,,vn) v = \sum\limits_{i} v_{i}\dfrac{\partial }{\partial x_{i}} = v_{i}\dfrac{\partial }{\partial x_{i}} = (v_{1}, \dots, v_{n})

R\mathbb{R}の座標をyyとすると、Tf(p)RT_{f(p)}\mathbb{R}の基底は{y}\left\{ \dfrac{\partial }{\partial y} \right\}で、微分にvvを代入すると、

dfp(v)=[fx1fxn][v1vn]=[vifxi]=(vifxi)y \begin{align*} df_{p} (v) &= \begin{bmatrix}\dfrac{\partial f}{\partial x_{1}} & \cdots & \dfrac{\partial f}{\partial x_{n}}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}v_{1} \\ \vdots \\ v_{n} \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} v_{i} \dfrac{\partial f}{\partial x_{i}}\end{bmatrix} \\ &= \left( v_{i} \dfrac{\partial f}{\partial x_{i}} \right) \dfrac{\partial }{\partial y} \end{align*}

今、Rn\mathbb{R}^{n}での11-形式ωp=fxidxi\omega_{p} = \dfrac{\partial f}{\partial x_{i}}dx_{i}を見よう。vvを代入すると、

wp(v)=fxidxi(v)=fxidxi(vjxj)=fxivjδij=vifxi \begin{align*} w_{p} (v) &= \dfrac{\partial f}{\partial x_{i}}dx_{i} (v) \\ &= \dfrac{\partial f}{\partial x_{i}}dx_{i} \left( v_{j}\dfrac{\partial }{\partial x_{j}} \right) \\ &= \dfrac{\partial f}{\partial x_{i}} v_{j}\delta_{ij} \\ &= v_{i}\dfrac{\partial f}{\partial x_{i}} \end{align*}

すると、この場合はどのみちR\mathbb{R}の次元が11なので、次が成り立つ。

dfp(v)=[vifxi]=vifxi=ωp(v) df_{p}(v) = \begin{bmatrix} v_{i} \dfrac{\partial f}{\partial x_{i}}\end{bmatrix} = v_{i}\dfrac{\partial f}{\partial x_{i}} = \omega_{p}(v)

従って、Rn\mathbb{R}^{n}上の11形式ωp\omega_{p}Rn\mathbb{R}^{n}上で定義された関数の微分dfpdf_{p}が同じであることが分かる。これは微分積分学でスカラー関数の完全微分dfdfを次のように表したものの本質である。

df=fxdx+fydy+fzdz df = \dfrac{\partial f}{\partial x}dx + \dfrac{\partial f}{\partial y}dy + \dfrac{\partial f}{\partial z}dz

f(x,y)=x2+y2f(x,y) = x^{2} + y^{2}ならば、

df=fxdx+fydy=2xdx+2ydy df = \dfrac{\partial f}{\partial x}dx + \dfrac{\partial f}{\partial y}dy = 2xdx + 2ydy

f(x,y)=exy+3xf(x,y) = e^{xy} + 3xならば、

df=(yexy+3)dx+xexydy df = (ye^{xy} + 3)dx + xe^{xy}dy

関連項目


  1. Manfredo P. Do Carmo, Differential Forms and Applications, p1-2 ↩︎