余接空間と一階微分形式 📂幾何学

余接空間と一階微分形式

概要

余接空間と微分1形式を定義する。微分多様体が難しいなら、$M = \mathbb{R}^{n}$だと思ってもいい。

余接空間¹

$M$を$n$次元微分多様体とする。すると、点$p \in M$での接空間$T_{p}M$は、$n$次元ベクトル空間（関数空間）になり、基底は$\left\{ \mathbf{e}_{i} = \left. \frac{\partial }{\partial x_{i}}\right|_{p} \right\}_{i}$である。

この時、接空間$T_{p} M$の双対空間$T_{p}^{\ast}M$を余接空間と言う。

$$ T_{p}^{\ast}M := \left\{ \psi : T_{p}M \to \mathbb{R}\ |\ \psi \text{ is continuous and linear} \right\} $$

説明

双対空間の性質により、$\dim T_{p}M = n = \dim T_{p}^{\ast}M$であり、双対基底$\left\{ (dx_{j})_{p} \right\}$は次のように定義される関数である。

$$ (dx_{j})_{p} : T_{p}M \to \mathbb{R} $$

$$ (dx_{j})_{p} \left(\textstyle \left. \frac{\partial }{\partial x_{k}}\right|_{p} \right) = \delta_{jk} = \begin{cases} 1, & j=k \\ 0, & j\ne k \end{cases} $$

任意の$\omega_{p} \in T_{p}^{\ast}M$は、基底$\left\{ (dx_{j})_{p} \right\}$に対して次のように表される。

$$ \begin{align*} \omega_{p} =&\ (a_{p}^{1}, a_{p}^{2}, a_{p}^{3}),\quad a_{p}^{i} \in \mathbb{R} \\[1em] =&\ a_{p}^{1}(dx_{1})_{p} + a_{p}^{2}(dx_{1})_{p} + a_{p}^{3}(dx_{3})_{p} \end{align*} $$

それでは、それぞれの点$p \in M$を$\omega_{p} \in T_{p}^{\ast}M$にマッピングする関数$\omega$を考えよう。

微分1次形式

微分多様体$M$の上の各点$p\in M$を余接空間の元$\omega_{p} \in T_{p}^{\ast}M$にマッピングする$\omega$を1-形式と言う。

$$ \begin{align*} \omega : M &\to T^{\ast}M \\ p &\mapsto \omega_{p} \end{align*} $$

この時$T^{\ast}M = \bigcup \limits_{p \in M} T_{p}^{\ast}M$は余接[バンドル]と言う。

説明

1-形式は1次形式とも呼ばれ、英語ではexterior form of degree 1, field of linear form等と呼ばれる。

$a_{i}$を$a_{i} : M \to \mathbb{R}$であり$a_{i}(p) = a_{p}^{i}$の関数だとすれば、$\omega_{p}$は次のように表せる。

$$ \begin{align*} \omega_{p} = \omega (p) =&\ (a_{1}(p), a_{2}(p), a_{3}(p)) \\ =&\ a_{1}(p)(dx_{1})_{p} + a_{2}(p)(dx_{1})_{p} + a_{3}(p)(dx_{3})_{p} \end{align*} $$

すると$\omega$は次のようになる。アインシュタイン記法を使えば、

$$ \omega = a_{1}dx_{1} + a_{2}dx_{2} + a_{3}dx_{3} = a_{i}dx_{i} $$

この時、各$a_{i}$が微分可能な関数ならば、$\omega$を1次微分形式と言う。

$\mathbb{R}^{n}$での$1$-形式

この抽象的な話では、これの意味を理解するのは難しいだろう。微分形式は、微分積分学で$dx$と$dy$を自由に扱うことに対する理論的なバックアップを提供する。ユークリッド空間の例を見よう。関数$f : \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}$を考える。すると、$f$の微分は$df_{p} : T_{p}\mathbb{R}^{n} \to T_{f(p)}\mathbb{R}$である。$v \in T_{p}\mathbb{R}^{n}$とすると、

$$ v = \sum\limits_{i} v_{i}\dfrac{\partial }{\partial x_{i}} = v_{i}\dfrac{\partial }{\partial x_{i}} = (v_{1}, \dots, v_{n}) $$

$\mathbb{R}$の座標を$y$とすると、$T_{f(p)}\mathbb{R}$の基底は$\left\{ \dfrac{\partial }{\partial y} \right\}$で、微分に$v$を代入すると、

$$ \begin{align*} df_{p} (v) &= \begin{bmatrix}\dfrac{\partial f}{\partial x_{1}} & \cdots & \dfrac{\partial f}{\partial x_{n}}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}v_{1} \\ \vdots \\ v_{n} \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} v_{i} \dfrac{\partial f}{\partial x_{i}}\end{bmatrix} \\ &= \left( v_{i} \dfrac{\partial f}{\partial x_{i}} \right) \dfrac{\partial }{\partial y} \end{align*} $$

今、$\mathbb{R}^{n}$での$1$-形式$\omega_{p} = \dfrac{\partial f}{\partial x_{i}}dx_{i}$を見よう。$v$を代入すると、

$$ \begin{align*} w_{p} (v) &= \dfrac{\partial f}{\partial x_{i}}dx_{i} (v) \\ &= \dfrac{\partial f}{\partial x_{i}}dx_{i} \left( v_{j}\dfrac{\partial }{\partial x_{j}} \right) \\ &= \dfrac{\partial f}{\partial x_{i}} v_{j}\delta_{ij} \\ &= v_{i}\dfrac{\partial f}{\partial x_{i}} \end{align*} $$

すると、この場合はどのみち$\mathbb{R}$の次元が$1$なので、次が成り立つ。

$$ df_{p}(v) = \begin{bmatrix} v_{i} \dfrac{\partial f}{\partial x_{i}}\end{bmatrix} = v_{i}\dfrac{\partial f}{\partial x_{i}} = \omega_{p}(v) $$

従って、$\mathbb{R}^{n}$上の$1$形式$\omega_{p}$と$\mathbb{R}^{n}$上で定義された関数の微分$df_{p}$が同じであることが分かる。これは微分積分学でスカラー関数の完全微分$df$を次のように表したものの本質である。

$$ df = \dfrac{\partial f}{\partial x}dx + \dfrac{\partial f}{\partial y}dy + \dfrac{\partial f}{\partial z}dz $$

例

$f(x,y) = x^{2} + y^{2}$ならば、

$$ df = \dfrac{\partial f}{\partial x}dx + \dfrac{\partial f}{\partial y}dy = 2xdx + 2ydy $$

$f(x,y) = e^{xy} + 3x$ならば、

$$ df = (ye^{xy} + 3)dx + xe^{xy}dy $$