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iの累乗とeの累乗の関係 📂複素解析

iの累乗とeの累乗の関係

定理

自然定数 $e$と虚数 $i$の累乗は以下の関係を満たします。

$$ e^{i\frac{l \pi}{2}} = i^{l} $$

証明

$e^{ i \frac{l \pi}{2}}=\cos\frac{l \pi}{2}+i\sin \frac{l \pi}{2}$であるため、$l=0$時、

$$ e^{ 0}= 1 =i^{0} $$

$l=1$時、

$$ e^{ i \frac{\pi}{2}}=\cos\frac{\pi}{2}+i\sin \frac{\pi}{2}=i=i^{1} $$

$l=2$時、

$$ e^{ i \pi}=\cos \pi+i\sin \pi=-1=i^{2} $$

$l=3$時、

$$ e^{ i \frac{3\pi}{2}}=\cos\frac{3\pi}{2}+i\sin \frac{3\pi}{2}=-i=i^{3} $$

その後繰り返すため、

$$ e^{ i \frac{l \pi}{2}}=i^l $$