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主曲線の曲率 📂幾何学

主曲線の曲率

ビルドアップ1

曲面 MMがどの方向に、どれだけ曲がっているかを知るためには、各方向の法曲率 κn\kappa_{n}を知ればいい。つまり、点ppでの全てのκn\kappa_{n}を知れば、MMがどのように曲がっているかを知ることができる。これを知るための最初のステップとして、κn\kappa_{n}の最大値と最小値について考えよう。単位接線曲線γ\boldsymbol{\gamma}に対して、次の定理が成立する。

補助定理

T\mathbf{T}が単位速度曲線γ\boldsymbol{\gamma}の接線場とすると、κn=II(T,T)\kappa_{n} = II (\mathbf{T}, \mathbf{T})が成立する。

よって、私たちの目的は、接線ベクトルX∈TpM\mathbf{X} \in T_{p}Mに対してII(X,X)=κnII(\mathbf{X}, \mathbf{X}) = \kappa_{n}の最大値と最小値を求めることである。ここで、IIIIは第二基本形式である。

この問題は言い換えれば、制約条件が⟨X,X⟩=1\left\langle \mathbf{X}, \mathbf{X} \right\rangle = 1の、II(X,X)II(\mathbf{X}, \mathbf{X})の最大化（最小化）問題である。このような問題はラグランジュの未定乗数法で解くことができる。それでは、私たちが解くべき問題はII(X,X)II(\mathbf{X}, \mathbf{X})の最大値（最小値）を求めることから、次のようなffの最大値（最小値）を求めることに変わる。ワインガルテンマップLLに対してII(X,X)=⟨L(X),X⟩II(\mathbf{X}, \mathbf{X}) = \left\langle L(\mathbf{X}), \mathbf{X} \right\rangleなので、

f(X,λ)=II(X,X)−λ(⟨X,X⟩−1)=⟨L(X),X⟩−λ⟨X,X⟩+λ=⟨L(X)−λX,X⟩+λ \begin{align*} f(\mathbf{X}, \lambda) &= II(\mathbf{X}, \mathbf{X}) - \lambda (\left\langle \mathbf{X}, \mathbf{X} \right\rangle - 1) \\ &= \left\langle L(\mathbf{X}), \mathbf{X} \right\rangle - \lambda\left\langle \mathbf{X}, \mathbf{X} \right\rangle + \lambda\\ &= \left\langle L(\mathbf{X}) - \lambda \mathbf{X}, \mathbf{X} \right\rangle + \lambda\\ \end{align*}

これを座標極座標写像x\mathbf{x}に対して表現すると、X=X1x1+X2x2\mathbf{X} = X^{1}\mathbf{x}_{1} + \mathbf{X}^{2}\mathbf{x}_{2}、L(xk)=∑lLlkxlL(\mathbf{x}_{k}) = \sum\limits_{l}{L^{l}}_{k}\mathbf{x}_{l}なので、

f(X,λ)=f(X1,X2,λ)=λ+⟨∑i,jLijXjxi−∑jλXjxj,∑kXkxk⟩=λ+⟨LijXjxi−λXjxj,Xkxk⟩by \href=λ+LijXjXk⟨xi,xk⟩−λXjXk⟨xj,xk⟩=λ+LijXjXkgik−λXjXkgjk=λ+LijXjXkgik−λXjXkδijgik=λ+(Lij−λδij)XjXkgik \begin{align*} f(\mathbf{X}, \lambda) &= f(X^{1}, X^{2}, \lambda) \\ &= \lambda + \left\langle \sum\limits_{i,j} {L^{i}}_{j}X^{j}\mathbf{x}_{i} - \sum\limits_{j}\lambda X^{j}\mathbf{x}_{j}, \sum\limits_{k}X^{k}\mathbf{x}_{k} \right\rangle \\ &= \lambda + \left\langle {L^{i}}_{j}X^{j}\mathbf{x}_{i} - \lambda X^{j}\mathbf{x}_{j}, X^{k}\mathbf{x}_{k} \right\rangle & \text{by } \href{https://freshrimpsushi.github.io/posts/einstein-notation}{\text{Einstein notation}} \\ &= \lambda + {L^{i}}_{j}X^{j}X^{k}\left\langle \mathbf{x}_{i}, \mathbf{x}_{k} \right\rangle - \lambda X^{j}X^{k} \left\langle \mathbf{x}_{j}, \mathbf{x}_{k} \right\rangle \\ &= \lambda + {L^{i}}_{j}X^{j}X^{k}g_{ik} - \lambda X^{j}X^{k} g_{jk} \\ &= \lambda + {L^{i}}_{j}X^{j}X^{k}g_{ik} - \lambda X^{j}X^{k} \delta_{ij}g_{ik} \\ &= \lambda + ({L^{i}}_{j} - \lambda \delta_{ij}) X^{j}X^{k}g_{ik} \end{align*}

δ\deltaはクロネッカーのデルタである。ラグランジュの未定乗数法により∂f∂Xl=0\dfrac{\partial f}{\partial X^{l}} = 0を得る。Ljk=∑lLlkgljL_{jk} = \sum\limits_{l}{L^{l}}_{k}g_{lj}なので、

0=∂f∂Xl=∑ijk(Lij−λδij)δjlXkgik+∑ijk(Lij−λδij)δklXjgik=∑ik(Lil−λδil)Xkgik+∑ij(Lij−λδij)Xjgil=∑ikLilXkgik−∑ikλδilXkgik+∑ijLijXjgil−∑ijλδijXjgil=∑kLklXk−∑kλXkglk+∑jLljXj−∑jλXjgjl=∑j(LjlXj−λXjglj+LljXj−λXjgjl)=2∑j(LjlXj−λXjglj)=2∑jLjlXj−2∑jλXjglj=2∑jLjlXj−2∑jλXjglj=2∑ijLijXjgil−2∑ijλXjδijgli=2∑ij(Lij−λδij)Xjgli \begin{align*} 0 = \dfrac{\partial f}{\partial X^{l}} &= \sum\limits_{ijk} ({L^{i}}_{j} - \lambda \delta_{ij})\delta_{jl}X^{k}g_{ik} + \sum\limits_{ijk} ({L^{i}}_{j} - \lambda \delta_{ij})\delta_{kl}X^{j}g_{ik} \\ &= \sum\limits_{ik} ({L^{i}}_{l} - \lambda \delta_{il})X^{k}g_{ik} + \sum\limits_{ij} ({L^{i}}_{j} - \lambda \delta_{ij})X^{j}g_{il} \\ &= \sum\limits_{ik} {L^{i}}_{l}X^{k}g_{ik} - \sum\limits_{ik}\lambda \delta_{il}X^{k}g_{ik} + \sum\limits_{ij} {L^{i}}_{j}X^{j}g_{il} - \sum\limits_{ij}\lambda \delta_{ij}X^{j}g_{il} \\ &= \sum\limits_{k} L_{kl}X^{k} - \sum\limits_{k}\lambda X^{k}g_{lk} + \sum\limits_{j} L_{lj}X^{j} - \sum\limits_{j}\lambda X^{j}g_{jl} \\ &= \sum\limits_{j} \left( L_{jl}X^{j} - \lambda X^{j}g_{lj} + L_{lj}X^{j} - \lambda X^{j}g_{jl} \right) \\ &= 2\sum\limits_{j} \left( L_{jl}X^{j} - \lambda X^{j}g_{lj} \right) = 2\sum\limits_{j}L_{jl}X^{j} - 2\sum\limits_{j}\lambda X^{j}g_{lj} \\ &= 2\sum\limits_{j}L_{jl}X^{j} - 2\sum\limits_{j}\lambda X^{j}g_{lj} \\ &= 2\sum\limits_{ij}{L^{i}}_{j}X^{j}g_{il} - 2\sum\limits_{ij}\lambda X^{j}\delta_{ij}g_{li} \\ &= 2\sum\limits_{ij}\left( {L^{i}}_{j} - \lambda\delta_{ij} \right)X^{j}g_{li} \\ \end{align*}

  ⟹  ∑ij(Lij−λδij)Xjgli=0 \implies \sum\limits_{ij}\left( {L^{i}}_{j} - \lambda\delta_{ij} \right)X^{j}g_{li} = 0

したがって、全てのYlY^{l}に対して、次を得る。

∑ijl(Lij−λδij)XjYlgli=0 \sum\limits_{ijl}\left( {L^{i}}_{j} - \lambda\delta_{ij} \right)X^{j}Y^{l}g_{li} = 0

これは次を意味する。∀Y=∑lYlxl\forall \mathbf{Y}=\sum\limits_{l}Y^{l}\mathbf{x}_{l}、

⟨L(X)−λX,Y⟩=⟨L(∑jXjxj)−∑iλXixi,∑lYlxl⟩=⟨∑ijLijXjxi−∑ijλδijXjxi,∑lYlxl⟩=∑ijlLijXjYl⟨xi,xl⟩−∑ijlλδijXjYl⟨xi,xl⟩=∑ijl(Lij−λδij)XjYlgil=0 \begin{align*} \left\langle L(\mathbf{X}) - \lambda \mathbf{X}, \mathbf{Y} \right\rangle &= \left\langle L\left( \sum\limits_{j}X^{j}\mathbf{x}_{j} \right) - \sum\limits_{i}\lambda X^{i} \mathbf{x}_{i}, \sum\limits_{l}Y^{l}\mathbf{x}_{l} \right\rangle \\ &= \left\langle \sum\limits_{ij}{L^{i}}_{j}X^{j}\mathbf{x}_{i} - \sum\limits_{ij}\lambda \delta_{ij} X^{j} \mathbf{x}_{i}, \sum\limits_{l}Y^{l}\mathbf{x}_{l} \right\rangle \\ &= \sum\limits_{ijl}{L^{i}}_{j}X^{j}Y^{l}\left\langle \mathbf{x}_{i}, \mathbf{x}_{l} \right\rangle - \sum\limits_{ijl}\lambda \delta_{ij}X^{j}Y^{l}\left\langle \mathbf{x}_{i}, \mathbf{x}_{l} \right\rangle \\ &= \sum\limits_{ijl}({L^{i}}_{j} - \lambda \delta_{ij} )X^{j}Y^{l}g_{il} \\ &= 0 \end{align*}

したがって、次を得る。

∂f∂Xl=0  ⟹  ⟨L(X)−λX,Y⟩=0∀Y  ⟹  L(X)=λX \dfrac{\partial f}{\partial X^{l}} = 0 \implies \left\langle L(\mathbf{X}) - \lambda \mathbf{X}, \mathbf{Y} \right\rangle = 0\quad \forall \mathbf{Y} \implies L(\mathbf{X}) = \lambda \mathbf{X}

よって、λ\lambdaはLLの固有値であり、X\mathbf{X}はそれに対応する固有ベクトルである。特に、X\mathbf{X}は制約条件⟨X,X⟩=1\left\langle \mathbf{X}, \mathbf{X} \right\rangle = 1を満たさなければならないので単位固有ベクトルである。なので、2つの単位固有ベクトルに対してII(X,X)II(\mathbf{X}, \mathbf{X})は最大値（最小値）を取るという結論を得る。

さらに、B={x1,x2}B = \left\{ \mathbf{x}_{1}, \mathbf{x}_{2} \right\}とし、便宜上LLの行列表示をLLと重複して表記し、L≡[L]BL \equiv \left[ L \right]_{B}とすると、λ\lambdaは次の式の解である。

det⁡(L−λI)=(λ−L11)(λ−L22)−L12L21=λ2−(L11L22)λ+(L11L22−L12L21)=λ2−tr⁡(L)λ+det⁡(L)=0 \begin{equation} \begin{aligned} \det(L - \lambda I) &= (\lambda - {L^{1}}_{1})(\lambda - {L^{2}}_{2}) - {L^{1}}_{2}{L^{2}}_{1} \\ &= \lambda^{2} - ({L^{1}}_{1}{L^{2}}_{2})\lambda + ({L^{1}}_{1}{L^{2}}_{2} - {L^{1}}_{2}{L^{2}}_{1}) \\ &= \lambda^{2} - \tr(L) \lambda + \det(L) \\ &= 0 \end{aligned} \label{1} \end{equation}

2つの解（固有値）をκ1,κ2\kappa_{1}, \kappa_{2}（κ1≥κ2\kappa_{1} \ge \kappa_{2}）と表記しよう。以下の定理は、これら2つの値が実際にはκn\kappa_{n}の最小値と最大値であることを述べている。

定理

曲面MM上の各点には、1.法曲率がそれぞれ最大、最小であり、2.互いに垂直な2つの方向が存在する。

証明

LLの2つの固有値はそれぞれ法曲率の最大値と最小値である。

上述の考察に従って、LLの固有ベクトルの方向において、MM上の点ppでの法曲率は最大値と最小値をとる。点ppでのLLの2つの固有値をκ1,κ2(κ1≥κ2)\kappa_{1}, \kappa_{2}(\kappa_{1} \ge \kappa_{2})、それに対応する固有ベクトルをX1,X2\mathbf{X}_{1}, \mathbf{X}_{2}としよう。すると、法曲率の最大値と最小値は以下の通りである。

κn=II(Xi,Xi)=⟨L(Xi),Xi⟩=⟨κiXi,Xi⟩=κi⟨Xi,Xi⟩=κi \kappa_{n} = II(\mathbf{X}_{i}, \mathbf{X}_{i}) = \left\langle L(\mathbf{X}_{i}), \mathbf{X}_{i} \right\rangle = \left\langle \kappa_{i}\mathbf{X}_{i}, \mathbf{X}_{i} \right\rangle = \kappa_{i}\left\langle \mathbf{X}_{i}, \mathbf{X}_{i} \right\rangle = \kappa_{i}

したがって、大きい固有値κ1\kappa_{1}が最大法曲率、小さい値κ2\kappa_{2}が最小法曲率である。

2つの固有ベクトルは互いに垂直である。

  • κ1≠κ2\kappa_{1} \ne \kappa_{2}

この場合、LLが自己随伴であるため、

κ1⟨X1,X2⟩=⟨L(X1),X2⟩=⟨X1,L(X2)⟩=⟨X1,κ2X2⟩=κ2⟨X1,X2⟩  ⟹  (κ1−κ2)⟨X1,X2⟩=0 \kappa_{1} \left\langle \mathbf{X}_{1}, \mathbf{X}_{2} \right\rangle = \left\langle L(\mathbf{X}_{1}), \mathbf{X}_{2} \right\rangle = \left\langle \mathbf{X}_{1}, L(\mathbf{X}_{2}) \right\rangle = \left\langle \mathbf{X}_{1}, \kappa_{2} \mathbf{X}_{2} \right\rangle = \kappa_{2} \left\langle \mathbf{X}_{1}, \mathbf{X}_{2} \right\rangle \\ \implies (\kappa_{1} - \kappa_{2}) \left\langle \mathbf{X}_{1}, \mathbf{X}_{2} \right\rangle = 0

仮定により、⟨X1,X2⟩=0\left\langle \mathbf{X}_{1}, \mathbf{X}_{2} \right\rangle = 0

  • κ1=κ2\kappa_{1} = \kappa_{2}

補助定理

λ\lambda、X\mathbf{X}が曲面MM上の点ppでのLLの固有値、固有ベクトルとする。単位接線ベクトルY∈TpM\mathbf{Y} \in T_{p}Mが⟨X,Y⟩=0\left\langle \mathbf{X}, \mathbf{Y} \right\rangle = 0を満たすとする。するとY\mathbf{Y}も固有ベクトルである。

証明

仮定により{X,Y}\left\{ \mathbf{X}, \mathbf{Y} \right\}はTpMT_{p}Mの基底である。LLが自己随伴であるため、

0=⟨λX,Y⟩=⟨L(X),Y⟩=⟨X,L(Y)⟩=⟨X,a1X+a2Y⟩ 0 = \left\langle \lambda \mathbf{X}, \mathbf{Y} \right\rangle = \left\langle L(\mathbf{X}), \mathbf{Y} \right\rangle = \left\langle \mathbf{X}, L(\mathbf{Y}) \right\rangle = \left\langle \mathbf{X}, a_{1} \mathbf{X} + a_{2} \mathbf{Y} \right\rangle

よって、a1=0a_{1}=0が成立し、L(Y)=a2YL(\mathbf{Y}) = a_{2}\mathbf{Y}であるため、Y\mathbf{Y}も固有ベクトルである。

■

補助定理によって、X1\mathbf{X}_{1}に垂直な単位ベクトルも固有ベクトルである。したがって、これをX2\mathbf{X}_{2}として選ぶことができる。

■

定義

  • 点p∈Mp\in Mで定義されたワインガルテンマップLLの固有値κ1,κ2\kappa_{1}, \kappa_{2}を、点ppでの曲面MMの主曲率と呼ぶ。LLの固有ベクトルを、点ppでの主方向と呼ぶ。

  • 2つの主曲率κ1,κ2\kappa_{1}, \kappa_{2}が等しい点をアンビリックと呼ぶ。

  • 曲線の全ての点において、接線ベクトルがその点での曲面MM上の主方向である場合、その曲線を曲面MM上の曲率線と呼ぶ。

説明

上述の考察により、主曲率の大きい値（小さい値）は、点ppでの法曲率の最大値（最小値）である。

S2S^{2}とR2\mathbb{R}^{2}の全ての点はアンビリックである。[逆も成立する。]

(1)\eqref{1}では、根と係数の関係により、κ1κ2=det⁡L\kappa_{1} \kappa_{2} = \det Lが成立し、これをガウス曲率と呼ぶ。また、κ1+κ22=tr⁡L2\dfrac{\kappa_{1} + \kappa_{2}}{2} = \dfrac{\tr{L}}{2}を平均曲率と呼ぶ。

  1. Richard S. Millman and George D. Parker, Elements of Differential Geometry (1977), p127-129 ↩︎