📂幾何学

微分幾何学における方向微分

定義¹

$\mathbf{X} \in T_{p}M$を接ベクトル、$\alpha (t)$を曲面$M$上の曲線としよう。すると、$\alpha : (-\epsilon, \epsilon) \to M$であり$\alpha (0) = p$を満たす。つまり$\mathbf{X} = \dfrac{d \alpha}{d t} (0)$だ。ここで関数$f$を曲面$M$上の点$p \in M$のある近傍で定義された微分可能な関数とする。すると$\mathbf{X}$方向への$f$の方向微分^{directional derivative} $\mathbf{X}f$を次のように定義する。

$$\mathbf{X} f := \dfrac{d}{dt_{}} (f \circ \alpha) (0)$$

説明

このような記法を使う理由は、固定された接ベクトル$\mathbf{X}$があれば$f$が与えられるごとに$\mathbf{X}f$が一つ決定されるからで、接ベクトルをオペレーターとして考えることである。だから微分幾何学では**「接ベクトル = 関数 = 微分」** と考える。つまり接ベクトルを汎関数として扱う。

$$\mathbf{X} : \mathcal{D} \to \mathbb{R}, \quad \text{where } \mathcal{D} \text{ is set of all differentiable functions near } p$$

主に使われる記法は以下の通りだ。接ベクトルを$\mathbf{X}, \mathbf{v}$として表すとき、

$$\mathbf{X}f,\quad \mathbf{X}_{p}f,\quad \nabla_{\mathbf{v}}f, \quad \mathbf{v}_{p}f, \quad \mathbf{v}_{p}\left[ f \right], \quad \alpha^{\prime}(0)f$$

下記の定理から、このような方向微分を与えられた座標チャート写像$\mathbf{x}$で表現することができる。

定理

$\mathbf{x} : U \subset \mathbb{R}^{2} \to M$を座標チャート写像、$p=\mathbf{x}(0,0) \in M$とする。$(u^{1}, u^{2})$を$U$の座標とする。接ベクトル$\mathbf{X} \in T_{p}M$は$\mathbf{X} = X^{1}\mathbf{x}_{1} + X^{2}\mathbf{x}_{2}$のように表現される。すると$f$の方向微分は次の通りである。

$$\mathbf{X}f = \sum \limits_{i=1}^{2} X^{i} \dfrac{\partial (f\circ \mathbf{x})}{\partial u^{i}} (0,0)$$

特に曲線$\alpha$が$\mathbf{X} = \alpha^{\prime}(0)$であり$\alpha (0) = p$を満たすだけで、$\mathbf{X}f$はどの曲線を選んでも依存しない。

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ベクトル解析において

$$\nabla _{\mathbf{u}} f = \nabla f \cdot \mathbf{u} = \dfrac{\partial f}{\partial x_{1}} u_{1} + \dfrac{\partial f}{\partial x_{2}} u_{2} + \dots + \dfrac{\partial f}{\partial x_{n}} u_{n}$$

式は以下の通り。

証明

$\alpha$が座標チャート$\mathbf{x}$上の曲線であるため、$\alpha (t) = \mathbf{x}(\alpha^{1}(t), \alpha^{2}(t))$として表記しよう。すると次が成り立つ。

$$(f \circ \alpha) (t) = ( f \circ \mathbf{x} ) (\alpha^{1}(t), \alpha^{2}(t))$$

上記の式を$f \circ \mathbf{x} : \mathbb{R}^{2} \to \mathbb{R}$という関数と、$t\mapsto (\alpha^{1}(t), \alpha^{2}(t))$としてマッピングする関数の合成として考える。これを微分すると、連鎖ルールにより次のようになる。

$$\begin{equation} \dfrac{d}{dt}(f \circ \alpha)(t) = \dfrac{d}{dt} ( f \circ \mathbf{x} ) (\alpha^{1}(t), \alpha^{2}(t)) = \sum \limits_{i} \dfrac{\partial ( f \circ \mathbf{x} ) }{\partial u^{i}} \dfrac{d \alpha^{i}}{dt} \end{equation}$$

ここで$\dfrac{\partial ( f \circ \mathbf{x} ) }{\partial u^{i}}$の変数は$(u^{1}, u^{2})$であり、$\dfrac{\partial ( f \circ \mathbf{x} ) }{\partial u^{i}} (u^{1}, u^{2})$は簡略化して書かれていることに注意しよう。同様に$\dfrac{d \alpha^{i}}{dt}(t)$も変数を省略して簡略化して書かれている。

同様に連鎖ルールを適用して$\alpha (t) = \mathbf{x}(\alpha^{1}(t), \alpha^{2}(t))$を微分すると、次を得る。

$$\begin{align*} \alpha^{\prime} (t) =&\ \dfrac{d \mathbf{x}}{d u^{1}} \dfrac{d \alpha^{1}}{d t}(t) + \dfrac{d \mathbf{x}}{d u^{2}} \dfrac{ d \alpha^{2}}{dt}(t) \\ =&\ \mathbf{x}_{1}(\alpha^{1}(t), \alpha^{2}(t)) (\alpha^{1})^{\prime}(t) + \mathbf{x}_{2}(\alpha^{1}(t), \alpha^{2}(t)) (\alpha^{2})^{\prime}(t) \\ =&\ (\alpha^{1})^{\prime}(t) \mathbf{x}_{1} + (\alpha^{2})^{\prime}(t) \mathbf{x}_{2} \end{align*}$$

ここに$t=0$を代入すると、次を得る。

$$\alpha^{\prime}(0) = \mathbf{X} = X^{1}\mathbf{x}_{1} + X^{2}\mathbf{x}_{2}$$

したがって、$X^{i} = \dfrac{d\alpha^{i}}{dt} (0)$が成立する。また$t=0$のとき$\alpha (0) = p = \mathbf{x}(0,0)$なので、$(1)$dに$t=0$を代入すると、次を得る。

$$\begin{align*} \mathbf{X} f = \dfrac{d}{dt_{}} (f \circ \alpha) (0) =&\ \sum \limits_{i} \dfrac{\partial ( f \circ \mathbf{x} ) }{\partial u^{i}}(0,0) \dfrac{d \alpha^{i}}{dt}(0) \\ =&\ \sum \limits_{i} X^{i}\dfrac{\partial ( f \circ \mathbf{x} ) }{\partial u^{i}}(0,0) \end{align*}$$

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系

$\mathbf{X}, \mathbf{Y} \in T_{p}M$としよう。$f, g$が$p \in M$の近傍で微分可能な関数とする。$r \in \mathbb{R}^{3}$としよう。すると、次の式が成立する。

$$\left( r\mathbf{X} + \mathbf{Y} \right) f = r\mathbf{X}f + \mathbf{Y} f \\ \mathbf{X}(rf+g) = r\mathbf{X}f + \mathbf{X}g \\ \mathbf{X}_{p}(fg) = \mathbf{X}_{p}(f) g(p) + f(p)\mathbf{X}_{p}(g)$$

3番目の式は積の微分法$(fg)^{\prime} = f^{\prime}g +fg^{\prime}$を意味する。

証明

定義により簡単に示せる。

$$\begin{align*} \left( r\mathbf{X} + \mathbf{Y} \right) f =&\ \sum \limits_{i=1}^{2} (rX^{i} + Y^{i}) \dfrac{\partial (f\circ \mathbf{x})}{\partial u^{i}} (0,0) \\ =&\ r\sum \limits_{i=1}^{2} X^{i}\dfrac{\partial (f\circ \mathbf{x})}{\partial u^{i}} (0,0) + \sum \limits_{i=1}^{2}Y^{i}\dfrac{\partial (f\circ \mathbf{x})}{\partial u^{i}} (0,0) \\ =&\ r\mathbf{X}f + \mathbf{Y} f \end{align*}$$

$fg(p)= f(p)g(p)$であるため、次が成立する。

$$(fg)\circ \mathbf{x} (u^{1}, u^{2}) = f(\mathbf{x}(u^{1}, u^{2})) g(\mathbf{x}(u^{1}, u^{2})) = f\circ \mathbf{x}(u^{1}, u^{2}) g\circ \mathbf{x}(u^{1}, u^{2})$$

したがって積の微分法により、次を得る。

$$\begin{align*} \mathbf{X}_{p}(fg) =&\ \sum \limits_{i=1}^{2} X^{i} \dfrac{\partial ((fg)\circ \mathbf{x})}{\partial u^{i}} (0,0) \\ =&\ \sum \limits_{i=1}^{2} X^{i} \dfrac{\partial ((f\circ \mathbf{x}) (g \circ \mathbf{x}) )}{\partial u^{i}} (0,0) \\ =&\ \sum \limits_{i=1}^{2} X^{i} \left[ \dfrac{\partial (f\circ \mathbf{x})}{\partial u^{i}} (0,0) (g \circ \mathbf{x}) (0,0) + (f \circ \mathbf{x}) (0,0)\dfrac{\partial (g\circ \mathbf{x})}{\partial u^{i}} (0,0) \right] \\ =&\ \sum \limits_{i=1}^{2} X^{i} \dfrac{\partial (f\circ \mathbf{x})}{\partial u^{i}} (0,0) g(p) + f(p) \sum \limits_{i=1}^{2} X^{i} \dfrac{\partial (g\circ \mathbf{x})}{\partial u^{i}} (0,0) \\ =&\ \mathbf{X}_{p}(f) g(p) + f(p) \mathbf{X}_{p}(g) \end{align*}$$

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同じく見る

• 解析学における方向微分
• リーマン幾何学における接ベクトル