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微分幾何学における第2基本形式 📂幾何学

微分幾何学における第2基本形式

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x:U→R3\mathbf{x} : U \to \mathbb{R}^{3}を座標チャートと呼ぼう。微分幾何学では、幾何学的な対象の特徴や性質を微分を通じて説明する。だから、座標チャートの微分x\mathbf{x}が色んな定理や公式に登場する。例えば、1次の微分{x1,x2}\left\{ \mathbf{x}_{1}, \mathbf{x}_{2} \right\}は接空間TpMT_{p}Mの基底になる。したがって、任意の接ベクトルX∈TpM\mathbf{X} \in T_{p}Mは以下のように表される。

X=X1x1+X2x2 \mathbf{X} = X^{1}\mathbf{x}_{1} + X^{2}\mathbf{x}_{2}

それでは、座標チャートの2次の微分xij=∂2x∂ui∂uj\mathbf{x}_{ij} = \dfrac{\partial^{2} \mathbf{x}}{\partial u_{i} \partial u_{j}}について考えてみよう。これはR3\mathbb{R}^{3}のベクトルなので、R3\mathbb{R}^{3}の基底の線形組み合わせで表すことができる。だが、私たちは既にR3\mathbb{R}^{3}で互いに直交する3つのベクトルを知っている。それは1次の微分と単位法線だ。

{n,x1,x2} \left\{ \mathbf{n}, \mathbf{x}_{1}, \mathbf{x}_{2} \right\}

するとxij\mathbf{x}_{ij}は次のように表すことができる。

xij=aijn+bij1x1+bij2x2 \mathbf{x}_{ij} = a_{ij} \mathbf{n} + b^{1}_{ij} \mathbf{x}_{1} + b^{2}_{ij} \mathbf{x}_{2}

xij\mathbf{x}_{ij}のn\mathbf{n}項の係数aij=⟨xij,n⟩a_{ij} = \left\langle \mathbf{x}_{ij}, \mathbf{n} \right\rangleをx\mathbf{x}の第2基本形式の係数coefficient of the second fundamental formと呼ぶ。

定義

xij\mathbf{x}_{ij}と単位法線n\mathbf{n}の内積をLijL_{ij}と表記し、第2基本形式の係数と呼ぶ。

Lij:=⟨xij,n⟩ L_{ij} := \left\langle \mathbf{x}_{ij}, \mathbf{n} \right\rangle

X,Y\mathbf{X}, \mathbf{Y}を曲面x\mathbf{x}の接空間TPMT_{P}Mのベクトルとしよう。接空間の基底は{x1,x2}\left\{ \mathbf{x}_{1}, \mathbf{x}_{2} \right\}なので、次のように表すことができる。

X=X1x1+X2x2andY=Y1x1+Y2x2 \mathbf{X} = X^{1}\mathbf{x}_{1} + X^{2}\mathbf{x}_{2} \quad \text{and} \quad \mathbf{Y} = Y^{1}\mathbf{x}_{1} + Y^{2}\mathbf{x}_{2}

次のような双線形形式IIIIを曲面x\mathbf{x}の第2基本形式the second fundamental formと定義する。

II(X,Y)=∑i=12∑j=12LijXiYj=LijXiYj=[X1X2][L11L12L21L22][Y1Y2] II (\mathbf{X}, \mathbf{Y}) = \sum \limits_{i=1}^{2} \sum \limits_{j=1}^{2} L_{ij}X^{i}Y^{j} = L_{ij}X^{i}Y^{j} = \begin{bmatrix} X^{1} & X^{2}\end{bmatrix} \begin{bmatrix} L_{11} & L_{12} \\ L_{21} & L_{22} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} Y^{1} \\ Y^{2}\end{bmatrix}

∑\sumが省略された式はアインシュタインの記法を使用したものだ。

説明

x12=x21\mathbf{x}_{12} = \mathbf{x}_{21}なので、L12=L21L_{12} = L_{21}だ。

xij\mathbf{x}_{ij}の法線成分normal componentaija_{ij}をLijL_{ij}と表記し、第2基本形式の係数と呼び、xij\mathbf{x}_{ij}の接成分tangential componentsbijkb_{ij}^{k}をΓijk\Gamma_{ij}^{k}と表記し、クリストッフェル記号と呼ぶ。

第1基本形式が曲面上の曲線の長さに関連する関数であったように、第2基本形式は曲面がどれほど曲がっているかの指標であり、ガウス曲率κn\kappa_{n}と関連している。

第1基本形式はリーマン計量という別の名前でも呼ばれるが、第2基本形式は単に第2基本形式と呼ばれる。

同時参照