📂幾何学

微分可能多様体上の接線ベクトル

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微分多様体 $M$ の各点で接ベクトルを定義しようとしている。微分可能な曲線 $\alpha : (-\epsilon , \epsilon) \to M$が与えられたとする。これから、微分幾何学でのように、$\alpha$の$t=0$での微分係数$\dfrac{d \alpha}{dt}(0)$を接ベクトルと定義したいが、$\alpha$の値域が$M$であるため（距離空間とは限らないため）、$\alpha$の導関数を言及することができない。このため、多様体上の接ベクトルを関数、つまりオペレーターとして定義することになる。微分幾何学を学んだなら、ベクトルをオペレーターとして扱うことに慣れているはずだ。次の説明を見てみよう。

方向微分

$\mathbf{X} \in T_{p}M$を曲面$M$の点$p$での接ベクトル、$\alpha (t)$を$M$上の曲線とする。この時、$\alpha : (-\epsilon, \epsilon) \to M$であり、$\alpha (0) = p$を満たす。つまり、$\mathbf{X} = \dfrac{d \alpha}{d t} (0)$である。ここで関数$f$を曲面$M$上の点$p \in M$のある近傍で定義された微分可能な関数とする。すると$\mathbf{X}$方向への$f$の方向微分^{directional derivative}$\mathbf{X}f$を次のように定義する。

$$\mathbf{X} : \mathcal{D} \to \mathbb{R}, \quad \text{where } \mathcal{D} \text{ is set of all differentiable functions near } p$$

$$\mathbf{X} f := \dfrac{d}{dt_{}} (f \circ \alpha) (0)$$

上の定義から見て、固定された接ベクトル$\mathbf{X}$があれば、$f$が与えられるたびに$\mathbf{X}f$が決定される。したがって、接ベクトルはそれ自体がオペレーターとして扱われる。$\mathbf{X}f$のような記法も、オペレーターの観点から見るために使われる。微分多様体上の接ベクトルも同様に、$M$上で微分可能な関数$f$が与えられるたびに、$f$とある曲線$\alpha$との合成を通じて実数空間をマッピングする関数として定義される。

定義

$M$を$n$次元の微分多様体とする。微分可能な関数 $\alpha : (-\epsilon , \epsilon) \to M$を**$M$で微分可能な曲線**とする。$\alpha (0)=p\in M$と仮定する。そして集合$\mathcal{D}$を次のように$p$で微分可能な関数の集合として定義する。

$$\mathcal{D} := \left\{ f : M \to \mathbb{R} | \text{functions on } M \text{that are differentiable at } p \right\}$$

すると、$\alpha (0) = p$での接ベクトル$\alpha^{\prime}(0) : \mathcal{D} \to \mathbb{R}$を次のような関数として定義する。

$$\alpha^{\prime} (0) f = \dfrac{d}{dt} (f\circ \alpha)(0),\quad f\in \mathcal{D}$$

点$p\in M$でのすべての接ベクトルの集合を接空間^{tangent space}と呼び、$T_{p}M$のように表す。

説明

$f : M \to \mathbb{R}$と$\alpha : (-\epsilon, \epsilon) \to M$はそれぞれ定義域と値域が距離空間であることが保証されていないため、古典的な意味で微分できないが、これらの合成である$f \circ \alpha : (-\epsilon, \epsilon) \to \mathbb{R}$は微分可能である。

ある微分可能な曲線$\alpha$が与えられるたびに接ベクトルが決定されるので、微分可能な曲線が存在する限り接ベクトルが存在すると考えることができる。また、二つの接ベクトル$\mathbf{X}, \mathbf{Y}$が異なる二つの曲線$\alpha$、$\beta$によって決定されたとしても、すべての$f \in \mathcal{D}$に対して$\mathbf{X}f = \mathbf{Y}f$が成立する場合、$\mathbf{X}$と$\mathbf{Y}$を同じ接ベクトルとして扱う。

接ベクトルの集合$T_{p}M$を接空間と呼ぶ理由は、これが実際に$n$次元のベクトル空間であるからである。

以下に紹介する定理から、点$p$での接ベクトルの関数値$\alpha^{\prime}(0)f$は、任意の座標系$\mathbf{x} : U \to M$を一つ選択することでこれに対して表すことができ、この値は$\mathbf{x}$の選択に依存しないことがわかる。

例

$T_{p}\mathbb{R}^{3}$を考えよう。ある微分可能な曲線$\alpha : (-\epsilon, \epsilon) \to \mathbb{R}^{3}$が決定されると、3次元ベクトル$\alpha^{\prime}(0) = \mathbf{v} = (v_{1}, v_{2}, v_{3}) \in \mathbb{R}^{3}$が決定される。定義により、接ベクトルは次のようになる。$f : \mathbb{R}^{3} \to \mathbb{R}$に対して、

$$\mathbf{X}f = \dfrac{d (f\circ \alpha)}{d t}(0) = \sum \limits_{i} \dfrac{\partial f}{\partial x_{i}}\dfrac{d \alpha_{i}}{d t}(0) = \sum\limits_{i} v_{i} \dfrac{\partial f}{\partial x_{i}}$$

これはユークリッド空間での方向微分と同じである。

$$\mathbf{v}[f] = \nabla _{\mathbf{v}}f = \mathbf{v} \cdot \nabla f = \sum \limits_{i} v_{i} \dfrac{\partial f}{\partial v_{i}}$$

方向微分はベクトルをオペレーターとして扱ったものであり、実質的にベクトルと同じである。したがって、$\mathbf{X}$は$\mathbb{R}^{3}$の要素として扱うことができ、次が成立する。

$$T_{p}\mathbb{R}^{3} \approxeq \mathbb{R}^{3}$$

定理

$\alpha (0) = p$である微分可能な曲線と点$p$での座標系$\mathbf{x} : U \to M$が与えられたとする。$(u_{1}, \dots, u_{n})$は$\mathbb{R}^{n}$の座標であり、

$$(x_{1}(p), \dots, x_{n}(p)) = \mathbf{x}^{-1}(p)$$

とする。すると、次の式が成立する。

$$\begin{align*} \alpha ^{\prime} (0) f =&\ \sum \limits_{i=1}^{n}x_{i}^{\prime}(p) \left.\dfrac{\partial (f\circ \mathbf{x})}{\partial u_{i}}\right|_{p} \\ =&\ \sum \limits_{i=1}^{n}x_{i}^{\prime}(\alpha (0)) \left.\dfrac{\partial f}{\partial x_{i}}\right|_{t=0} \end{align*}$$

この時、単純に$x_{i}^{\prime}(0) = x_{i}^{\prime}(\alpha (0))$と表記する。したがって、$\alpha^{\prime}(0)$は次のような微分オペレーターである。

$$\begin{equation} \alpha ^{\prime} (0) = \sum \limits_{i=1}^{n}x_{i}^{\prime}(0) \left.\dfrac{\partial }{\partial x_{i}}\right|_{t=0} \end{equation}$$

基底$\left\{ \left.\dfrac{\partial }{\partial x_{i}}\right|_{t=0} \right\}$に対して座標ベクトルで表記すると、次のようになる。

$$\alpha ^{\prime} (0) = \begin{bmatrix} x_{1}^{\prime}(0) \\ \vdots \\ x_{n}^{\prime}(0) \end{bmatrix}$$

証明

$p = \mathbf{x}(0)$となるような$M$の座標系 $\mathbf{x} : U \subset \mathbb{R}^{n} \to M$を一つ選ぼう。接ベクトルを座標系で表現できるように$f\circ \alpha = f \circ \mathbf{x} \circ \mathbf{x}^{-1} \circ \alpha$のように考える。すると、$\mathbf{x} \circ \mathbf{x}^{-1} = I$は恒等関数であるため、どの座標系を選んでも関係ないことがわかる。これから、$f \circ \mathbf{x}$と$\mathbf{x}^{-1} \circ \alpha$をそれぞれ全体として一つの関数とみなし、$f \circ \alpha$をこれら二つの合成関数と考える。

$$f \circ \alpha = (f \circ \mathbf{x}) \circ (\mathbf{x}^{-1} \circ \alpha)$$

まず$f \circ \mathbf{x}$を考える。$f \circ \mathbf{x} : \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}$であるため、次のように表現され、古典的な意味で微分が可能である。

$$f \circ \mathbf{x} = f \circ \mathbf{x} (u) = f \circ \mathbf{x} (u_{1}, u_{2}, \dots, u_{n}),\quad u=(u_{1},\dots,u_{n}) \in \mathbb{R}^{n}$$

$\mathbf{x}^{-1} \circ \alpha$もまた、$\mathbf{x}^{-1} \circ \alpha : \mathbb{R} \to \mathbb{R}^{n}$であるため、次のように表現され、古典的な意味で微分が可能である。

$$\begin{align*} \mathbf{x}^{-1} \circ \alpha (t) =&\ (x_{1}(\alpha (t)), x_{2}(\alpha (t)), \dots, x_{n}(\alpha (t))) \\ =&\ (x_{1}(t), x_{2}(t), \dots, x_{n}(t)) \end{align*}$$

この時、$x_{i}$は$x_{i} : M \to \mathbb{R}$である関数であり、$x_{i}(t)$は$x_{i}(\alpha (t))$を簡単に表記したものであることに注意する。

このように考えると、$f \circ \alpha$は二つの関数の合成であり、$\mathbb{R} \overset{\mathbf{x}^{-1} \circ \alpha}{\longrightarrow} \mathbb{R}^{n} \overset{f\circ \mathbf{x}}{\longrightarrow} \mathbb{R}$のようにマッピングされる。したがって、連鎖律により、次が成立する。

$$\dfrac{d}{d t}(f \circ \alpha) = \dfrac{d}{dt} \left( (f\circ \mathbf{x}) \circ (\mathbf{x}^{-1} \circ \alpha) \right) = \sum \limits_{i=1}^{n}\dfrac{\partial (f\circ \mathbf{x})}{\partial u_{i}} \dfrac{d (\mathbf{x}^{-1} \circ \alpha )_{i}}{d t} = \sum \limits_{i=1}^{n}\dfrac{\partial (f\circ \mathbf{x})}{\partial u_{i}} \dfrac{d x_{i}}{d t}$$

したがって、次を得る。

$$\begin{align*} \alpha^{\prime}(0) f :=&\ \dfrac{d}{dt} (f\circ \alpha)(0) \\ =&\ \sum \limits_{i=1}^{n} \left.\dfrac{\partial (f\circ \mathbf{x})}{\partial u_{i}}\right|_{t=0} \dfrac{d x_{i}}{d t}(0) \\ =&\ \sum \limits_{i=1}^{n} \left.\dfrac{\partial (f\circ \mathbf{x})}{\partial u_{i}}\right|_{t=0} x_{i}^{\prime}(0) \\ =&\ \sum \limits_{i=1}^{n} x_{i}^{\prime}(0) \left.\dfrac{\partial (f\circ \mathbf{x})}{\partial u_{i}}\right|_{t=0} \end{align*}$$

ここで、$\left.\dfrac{\partial }{\partial x_{i}}\right|_{t=0}$を次のようなオペレーターとして定義しよう。

$$\left.\dfrac{\partial }{\partial x_{i}}\right|_{t=0} f := \left.\dfrac{\partial (f\circ \mathbf{x})}{\partial u_{i}}\right|_{t=0}$$

$\dfrac{\partial f}{\partial x_{i}}$の意味をまとめると、次のようになる。

$f$は定義域が$M$であるため微分できない。したがって、座標系$\mathbf{x} : \mathbb{R}^{n} \to M$との合成を通じて$f\circ \mathbf{x}$を考える。これは$\mathbb{R}^{n}$を$\mathbb{R}$にマッピングするため、古典的な意味で微分が可能である。したがって、$\dfrac{\partial f}{\partial x_{i}}$は$f$を$\mathbf{x}$と合成した後、これをユークリッド空間$\mathbb{R}^{n}$の$i$番目の変数$u_{i}$に対して微分したものとして定義する。

最終的に次を得る。

$$\begin{align*} \alpha^{\prime}(0) f =&\ \sum \limits_{i=1}^{n} x_{i}^{\prime}(0) \left.\dfrac{\partial (f\circ \mathbf{x})}{\partial u_{i}}\right|_{t=0} \\ =&\ \sum \limits_{i=1}^{n} x_{i}^{\prime}(0) \left.\dfrac{\partial }{\partial x_{i}}\right|_{t=0}f = \ \sum \limits_{i=1}^{n} x_{i}^{\prime}(0) \left.\dfrac{\partial f}{\partial x_{i}}\right|_{t=0} \end{align*}$$

$$\implies \alpha^{\prime}(0) = \sum \limits_{i=1}^{n} x_{i}^{\prime}(0) \left.\dfrac{\partial }{\partial x_{i}}\right|_{t=0}$$

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関連項目

• 解析学での方向微分
• 微分幾何学での方向微分