logo

ガウス積分の一般化 📂レンマ

ガウス積分の一般化

式1

整数n≥0n \ge 0に対して、次の式が成り立つ。

  • 偶数次の多項式がかけられた場合 ∫−∞∞x2ne−αx2dx=(2n)!n!22nπα2n+1 \int_{-\infty}^{\infty} x^{2n} e^{-\alpha x^{2}}dx = \dfrac{(2n)!}{n! 2^{2n}}\sqrt{\dfrac{\pi}{\alpha^{2n+1}}}

∫0∞x2ne−αx2dx=(2n)!n!22n+1πα2n+1 \int_{0}^{\infty} x^{2n} e^{-\alpha x^{2}}dx = \dfrac{(2n)!}{n! 2^{2n+1}}\sqrt{\dfrac{\pi}{\alpha^{2n+1}}}

  • 奇数次の多項式がかけられた場合

∫−∞∞x2n+1e−αx2dx=0 \int_{-\infty}^{\infty} x^{2n+1} e^{-\alpha x^{2}}dx = 0

∫0∞x2n+1e−αx2dx=n!2αn+1 \int_{0}^{\infty} x^{2n+1} e^{-\alpha x^{2}}dx = \dfrac{n!}{2 \alpha^{n+1}}

説明

ガウス積分

∫−∞∞e−αx2dx=πα \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\alpha x^2} dx= \sqrt{\dfrac{\pi}{\alpha}}

ガウス積分の一般化と見ることができる。

かけられる多項式の次数が奇数の場合は、奇関数なので、実数全範囲における積分は常に00である。

証明

偶数

ガウス積分の両辺をα\alphaで微分しよう。すると、ライプニッツの法則により、次が成り立つ。

ddα(∫−∞∞e−αx2dx)=∫−∞∞∂∂αe−αx2dx=ddαπα \dfrac{d}{d\alpha}\left( \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\alpha x^2} dx \right) = \int_{-\infty}^{\infty} \dfrac{\partial }{\partial \alpha}e^{-\alpha x^2} dx = \dfrac{d}{d\alpha}\sqrt{\dfrac{\pi}{\alpha}}

  ⟹  ∫−∞∞−x2e−αx2dx=−12πα3 \implies \int_{-\infty}^{\infty} \cancel{-}x^{2}e^{-\alpha x^2} dx = \cancel{-}\dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{\pi}{\alpha^{3}}}

α\alphaに対してもう一度微分すると、次のようになる。

∫−∞∞−x2x2e−αx2dx=−1232πα5 \int_{-\infty}^{\infty} \cancel{-}x^{2}x^{2}e^{-\alpha x^2} dx = \cancel{-}\dfrac{1}{2}\dfrac{3}{2}\sqrt{\dfrac{\pi}{\alpha^{5}}}

  ⟹  ∫−∞∞x2⋅2e−αx2dx=1⋅322πα5 \implies \int_{-\infty}^{\infty} x^{2\cdot2}e^{-\alpha x^2} dx = \dfrac{1 \cdot 3}{2^{2}}\sqrt{\dfrac{\pi}{\alpha^{5}}}

α\alphaに対してもう一度微分すると、次のようになる。

∫−∞∞−x2x2⋅2e−αx2dx=−1⋅32252πα7 \int_{-\infty}^{\infty} \cancel{-}x^{2}x^{2\cdot2}e^{-\alpha x^2} dx = \cancel{-}\dfrac{1 \cdot 3}{2^{2}}\dfrac{5}{2}\sqrt{\dfrac{\pi}{\alpha^{7}}}

  ⟹  ∫−∞∞x2⋅3e−αx2dx=1⋅3⋅523πα7 \implies \int_{-\infty}^{\infty} x^{2\cdot3}e^{-\alpha x^2} dx = \dfrac{1 \cdot 3 \cdot 5}{2^{3}}\sqrt{\dfrac{\pi}{\alpha^{7}}}

連続する奇数の積

整数n≥0n \ge 0に対して、次が成り立つ。

(2n−1)⋅(2n−3)⋯5⋅3⋅1=(2n)!2n(n!)=(2n−1)!! (2n-1) \cdot (2n-3) \cdots 5 \cdot 3 \cdot 1 = \dfrac{(2n)!}{2^{n} (n!)} = (2n-1)!!

したがって、上記の式により、次のように一般化される。

∫−∞∞x2ne−αx2dx=(2n!)n!22nπα2n+1 \int_{-\infty}^{\infty} x^{2n}e^{-\alpha x^2} dx = \dfrac{(2n!)}{n!2^{2n}}\sqrt{\dfrac{\pi}{\alpha^{2n+1}}}

x2ne−αx2x^{2n}e^{-\alpha x^{2}}は偶関数なので、積分範囲が半分なら値も半分である。

∫0∞x2ne−αx2dx=(2n!)n!22n+1πα2n+1 \int_{0}^{\infty} x^{2n}e^{-\alpha x^2} dx = \dfrac{(2n!)}{n!2^{2n+1}}\sqrt{\dfrac{\pi}{\alpha^{2n+1}}}

■

奇数

まず、αx2≡y\alpha x^{2} \equiv yのように置換すると、2αxdx=dy2\alpha x dx = dyなので、n=0n=0のときの式は次のようになる。

∫0∞xe−αx2dx=12α∫0∞e−ydy \int_{0}^{\infty} xe^{-\alpha x^{2}}dx = \dfrac{1}{2\alpha} \int_{0}^{\infty} e^{-y}dy

上記の式の右辺は、ガンマ関数を用いると、Γ(1)=∫0∞y0e−ydy=1\Gamma (1) = \int_{0}^{\infty} y^{0} e^{-y}dy = 1であることがわかる。したがって、次の式が得られる。

∫0∞x1e−αx2dx=12α=0!2α1 \int_{0}^{\infty} x^{1}e^{-\alpha x^{2}}dx = \dfrac{1}{2\alpha} = \dfrac{0!}{2\alpha^{1}}

偶数のときと同様に、両辺をα\alphaで微分すると、次のようになる。

∫0∞−x2xe−αx2dx=−12α2 \int_{0}^{\infty} \cancel{-}x^{2}xe^{-\alpha x^{2}}dx = \cancel{-}\dfrac{1}{2\alpha^{2}}

  ⟹  ∫0∞x3e−αx2dx=1!2α2 \implies \int_{0}^{\infty} x^{3}e^{-\alpha x^{2}}dx = \dfrac{1!}{2\alpha^{2}}

α\alphaに対してもう一度微分すると、次のようになる。

∫0∞−x2x3xe−αx2dx=−2⋅12α3 \int_{0}^{\infty} \cancel{-}x^{2}x^{3}xe^{-\alpha x^{2}}dx = \cancel{-}\dfrac{2 \cdot 1}{2\alpha^{3}}

  ⟹  ∫0∞x5xe−αx2dx=2!2α3 \implies \int_{0}^{\infty} x^{5}xe^{-\alpha x^{2}}dx = \dfrac{2!}{2\alpha^{3}}

α\alphaに対してもう一度微分すると、次のようになる。

∫0∞−x2x5xe−αx2dx=−3⋅2!2α4 \int_{0}^{\infty} \cancel{-}x^{2}x^{5}xe^{-\alpha x^{2}}dx = \cancel{-}\dfrac{3 \cdot 2!}{2\alpha^{4}}

  ⟹  ∫0∞x7xe−αx2dx=3!2α4 \implies \int_{0}^{\infty} x^{7}xe^{-\alpha x^{2}}dx = \dfrac{3!}{2\alpha^{4}}

したがって、これを一般化して表現すると、次のようになる。

∫0∞x2n+1xe−αx2dx=n!2αn+1 \int_{0}^{\infty} x^{2n+1}xe^{-\alpha x^{2}}dx = \dfrac{n!}{2\alpha^{n+1}}

■

  1. Stephen J. Blundell and Katherine M. Blundell, 열 물리학(Concepts in Thermal Physics, 이재우 역) (2nd Edition, 2014), p590-591 ↩︎