📂ルベーグ空間

L^p 空間の埋め込み定理

定理¹

$\Omega \subset \mathbb{R}^{n}$が開集合で、$\text{vol}(\Omega) = \int_{\Omega} 1 dx \lt \infty$とする。

(a) $1 \le p \le q \le \infty$に対して、$u \in L^{q}(\Omega)$ならば、$u \in L^{p}(\Omega)$であり、

$$ \begin{equation} \left\| u \right\|_{p} \le \left( \text{vol}(\Omega) \right)^{\frac{1}{p} - \frac{1}{q}} \left\| u \right\|_{q} \end{equation} $$

そして、$L^{q}$は$L^{p}$に埋め込まれる。

$$ \begin{equation} L^{q}(\Omega) \to L^{p}(\Omega) \end{equation} $$

(b) $1 \le p \le q \le \infty$に対して、$u \in L^{\infty}(\Omega)$ならば、

$$ \begin{equation} \lim \limits_{p \to \infty} \left\| u \right\|_{p} = \left\| u \right\|_{\infty} \end{equation} $$

(c) 全ての$1 \le p \lt \infty$に対して、$u \in L^{p}(\Omega)$であり、$\left\| u \right\|_{p} \le K$である$K$が存在すれば、

$$ \begin{equation} u \in L^{\infty}(\Omega) \quad \text{and} \quad \left\| u \right\|_{\infty} \le K \end{equation} $$

説明

(a) $1 \le p \le q$の時、一般に$L^{p}$空間と$L^{q}$空間の間に包含関係はない。しかし、ドメインのボリュームが有限の場合は、$L^{q} \subset L^{p}$が成り立つ。

(b) 上記は$q = \infty$の時も成り立つので、$u \in L^{\infty}$ならば、全ての$1 \le p \lt \infty$に対して$u \in L^{p}$であり、$\left\| \cdot \right\| _{p}$の極限が$\left\| \cdot \right\|_{\infty}$に収束する。

(c) 定数$K$に関する仮定は、全ての$p$に対してそれぞれ存在するという意味ではなく、一つの$K$が全ての$p$に対して$\left\| u \right\|_{p} \le K$を満たすという意味である。(a)と(b)により、$p$が大きくなるほど小さな空間になるので、${L^{\infty}(\Omega) = \bigcap\limits_{1 \le p \lt \infty} L^{p}(\Omega)}$のように考えることができる。

証明

(a)

$p = q$か$q = \infty$が成り立つ場合、$(1)$と$(2)$が成立するのは自明である。だから$1 \le p \lt q \lt \infty$と$u \in L^{q}(\Omega)$を仮定しよう。

補題: 一般化されたヘルダーの不等式

3つの定数$\alpha \gt 0, \beta \gt 0, \gamma \gt 0$が$\dfrac{1}{\alpha} + \dfrac{1}{\beta} = \dfrac{1}{\gamma}$を満たし、$f \in {L}^{\alpha}(\Omega), g \in {L}^{\beta}(\Omega)$ならば、$fg \in L^{\gamma}(\Omega)$であり、以下の不等式が成立する。

$$ \| fg \|_{\gamma} = \left( \int_{\Omega} |f(x)g(x)|^{\gamma} dx \right)^{1 / \gamma} \le \| f \|_{\alpha} \| g \|_{\beta} $$

上記の補題に$\alpha = q, \beta = \dfrac{1}{p}-\dfrac{1}{q}, \gamma = p$、$f = u$、$g = 1$を代入すると、$u \in L^{q}(\Omega), 1 \in L^{\frac{1}{p}-\frac{1}{q}}(\Omega)$となるので、

$$ \begin{align*} && \left( \int_{\Omega} \left| u(x) \cdot 1 \right|^{p} dx \right)^{1 / p} \le& \left\| u \right\|_{q} \left\| 1 \right\|_{\frac{1}{p} - \frac{1}{q}} \\ \implies && \left\| u \right\|_{p} \le& \left( \int_{\Omega} 1 dx \right)^{\frac{1}{p} - \frac{1}{q}} \left\| u \right\|_{q} \\ && =&\ \left( \text{vol}(\Omega) \right)^{\frac{1}{p} - \frac{1}{q}} \left\| u \right\|_{q} \end{align*} $$

したがって、$u \in L^{p}(\Omega)$が成り立つ。

埋め込み

• $X$が$Y$の部分空間である。
• $\exists M \gt 0 \text{ such that } \left\| Ix \right\|_{{Y}} \le M \left\| x \right\|_{X},\quad x \in X$

また、$M = \left( \text{vol}(\Omega) \right)^{\frac{1}{p} - \frac{1}{q}}$とすると

$$ \left\| u \right\|_{p} \le M \left\| u \right\|_{q} $$

したがって、埋め込みの定義により、$L^{q}(\Omega) \to L^{p}(\Omega)$が埋め込みであることがわかる。

■

(b)

(a) の結果から次が成立する。

$$ \limsup _{p \to \infty} \left\| u \right\|_{p} \le \left\| u \right\|_{\infty} $$

一方、任意の$\epsilon \gt 0$に対して、次の条件を満たす正の測度 $\mu (A)$を持つ集合$A \subset \Omega$が存在する。

$$ \left| u(x) \right| \ge \left\| u \right\|_{\infty} - \epsilon,\quad \text{if } x \in A $$

このような$A$が存在しない場合、$\left\| u \right\|_{\infty}$は$\left\| \cdot \right\|_{\infty}$の定義を満たさないので、$A$の存在が保証される。したがって、次の式が成立する。

$$ \int_{\Omega} \left| u(x) \right|^{p} dx \ge \int_{A} \left| u(x) \right|^{p} dx \ge \int_{A} \left( \left\| u \right\|_{\infty} - \epsilon \right)^{p} dx \ge \mu (A) \left( \left\| u \right\|_{\infty} - \epsilon \right)^{p} $$

したがって、次を得る。

$$ \left\| u \right\|_{p} \ge \left( \mu (A) \right)^{1/p} \left( \left\| u \right\|_{\infty} - \epsilon \right) $$

これは全ての$\epsilon$とそれに応じる任意の$A$に対して成立しなければならないので、

$$ \liminf \limits_{p \to \infty} \left\| u \right\|_{p} \ge \left\| u \right\|_{\infty} $$

したがって、

$$ \liminf \limits_{p \to \infty} \left\| u \right\|_{p} \le \limsup _{p \to \infty} \left\| u \right\|_{p} \le \left\| u \right\|_{\infty} \le \liminf \limits_{p \to \infty} \left\| u \right\|_{p} \le \limsup _{p \to \infty} \left\| u \right\|_{p} $$

$$ \implies \liminf _{p \to \infty} \left\| u \right\|_{p} = \left\| u \right\|_{\infty} = \limsup \limits_{p \to \infty} \left\| u \right\|_{p} $$

$$ \implies \lim \limits_{p \to \infty} \left\| u \right\|_{p} = \left\| u \right\|_{\infty} $$

■

(c)

全ての$1 \le p \lt \infty$に対して、$\left\| u \right\|_{p} \le K$である$K$が存在するとしよう。そして、$u \in L^{\infty}(\Omega)$または$\left\| u \right\|_{\infty} \le K$のどちらかが成立しないと仮定してみよう。すると、$\left\| \cdot \right\|_{\infty}$の定義により、次を満たす定数$K_{1}$と集合$A \subset \Omega$を見つけることができる。

$$ K_{1} \gt K \quad \text{and} \quad \mu (A) \gt 0 \quad \text{and} \quad \left| u(x) \right| \gt K_{1} \text{ for } x \in A $$

そうすると、(b)の証明のように次が成立する。

$$ \liminf \limits_{p \to \infty} \left\| u \right\|_{p} \ge K_{1} \gt K $$

これは全ての$p$に対して$\left\| u \right\|_{p} \le K$という仮定に矛盾する。したがって、

$$ u \in L^{\infty}(\Omega) \quad \text{and} \quad \left\| u \right\|_{\infty} \le K $$

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