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L^p 空間の埋め込み定理 📂ルベーグ空間

L^p 空間の埋め込み定理

定理1

ΩRn\Omega \subset \mathbb{R}^{n}開集合で、vol(Ω)=Ω1dx<\text{vol}(\Omega) = \int_{\Omega} 1 dx \lt \inftyとする。

(a) 1pq1 \le p \le q \le \inftyに対して、uLq(Ω)u \in L^{q}(\Omega)ならば、uLp(Ω)u \in L^{p}(\Omega)であり、

up(vol(Ω))1p1quq \begin{equation} \left\| u \right\|_{p} \le \left( \text{vol}(\Omega) \right)^{\frac{1}{p} - \frac{1}{q}} \left\| u \right\|_{q} \end{equation}

そして、LqL^{q}LpL^{p}埋め込まれる

Lq(Ω)Lp(Ω) \begin{equation} L^{q}(\Omega) \to L^{p}(\Omega) \end{equation}

(b) 1pq1 \le p \le q \le \inftyに対して、uL(Ω)u \in L^{\infty}(\Omega)ならば、

limpup=u \begin{equation} \lim \limits_{p \to \infty} \left\| u \right\|_{p} = \left\| u \right\|_{\infty} \end{equation}

(c) 全ての1p<1 \le p \lt \inftyに対して、uLp(Ω)u \in L^{p}(\Omega)であり、upK\left\| u \right\|_{p} \le KであるKKが存在すれば、

uL(Ω)anduK \begin{equation} u \in L^{\infty}(\Omega) \quad \text{and} \quad \left\| u \right\|_{\infty} \le K \end{equation}

説明

(a) 1pq1 \le p \le qの時、一般にLpL^{p}空間とLqL^{q}空間の間に包含関係はない。しかし、ドメインのボリュームが有限の場合は、LqLpL^{q} \subset L^{p}が成り立つ。

(b) 上記はq=q = \inftyの時も成り立つので、uLu \in L^{\infty}ならば、全ての1p<1 \le p \lt \inftyに対してuLpu \in L^{p}であり、p\left\| \cdot \right\| _{p}の極限が\left\| \cdot \right\|_{\infty}に収束する。

(c) 定数KKに関する仮定は、全てのppに対してそれぞれ存在するという意味ではなく、一つのKKが全てのppに対してupK\left\| u \right\|_{p} \le Kを満たすという意味である。(a)と(b)により、ppが大きくなるほど小さな空間になるので、L(Ω)=1p<Lp(Ω){L^{\infty}(\Omega) = \bigcap\limits_{1 \le p \lt \infty} L^{p}(\Omega)}のように考えることができる。

証明

(a)

p=qp = qq=q = \inftyが成り立つ場合、(1)(1)(2)(2)が成立するのは自明である。だから1p<q<1 \le p \lt q \lt \inftyuLq(Ω)u \in L^{q}(\Omega)を仮定しよう。

補題: 一般化されたヘルダーの不等式

3つの定数α>0,β>0,γ>0\alpha \gt 0, \beta \gt 0, \gamma \gt 01α+1β=1γ\dfrac{1}{\alpha} + \dfrac{1}{\beta} = \dfrac{1}{\gamma}を満たし、fLα(Ω),gLβ(Ω)f \in {L}^{\alpha}(\Omega), g \in {L}^{\beta}(\Omega)ならば、fgLγ(Ω)fg \in L^{\gamma}(\Omega)であり、以下の不等式が成立する。

fgγ=(Ωf(x)g(x)γdx)1/γfαgβ \| fg \|_{\gamma} = \left( \int_{\Omega} |f(x)g(x)|^{\gamma} dx \right)^{1 / \gamma} \le \| f \|_{\alpha} \| g \|_{\beta}

上記の補題にα=q,β=1p1q,γ=p\alpha = q, \beta = \dfrac{1}{p}-\dfrac{1}{q}, \gamma = pf=uf = ug=1g = 1を代入すると、uLq(Ω),1L1p1q(Ω)u \in L^{q}(\Omega), 1 \in L^{\frac{1}{p}-\frac{1}{q}}(\Omega)となるので、

(Ωu(x)1pdx)1/puq11p1q    up(Ω1dx)1p1quq= (vol(Ω))1p1quq \begin{align*} && \left( \int_{\Omega} \left| u(x) \cdot 1 \right|^{p} dx \right)^{1 / p} \le& \left\| u \right\|_{q} \left\| 1 \right\|_{\frac{1}{p} - \frac{1}{q}} \\ \implies && \left\| u \right\|_{p} \le& \left( \int_{\Omega} 1 dx \right)^{\frac{1}{p} - \frac{1}{q}} \left\| u \right\|_{q} \\ && =&\ \left( \text{vol}(\Omega) \right)^{\frac{1}{p} - \frac{1}{q}} \left\| u \right\|_{q} \end{align*}

したがって、uLp(Ω)u \in L^{p}(\Omega)が成り立つ。

埋め込み

  • XXYY部分空間である。
  • M>0 such that IxYMxX,xX\exists M \gt 0 \text{ such that } \left\| Ix \right\|_{{Y}} \le M \left\| x \right\|_{X},\quad x \in X

また、M=(vol(Ω))1p1qM = \left( \text{vol}(\Omega) \right)^{\frac{1}{p} - \frac{1}{q}}とすると

upMuq \left\| u \right\|_{p} \le M \left\| u \right\|_{q}

したがって、埋め込みの定義により、Lq(Ω)Lp(Ω)L^{q}(\Omega) \to L^{p}(\Omega)が埋め込みであることがわかる。

(b)

(a) の結果から次が成立する。

lim suppupu \limsup _{p \to \infty} \left\| u \right\|_{p} \le \left\| u \right\|_{\infty}

一方、任意のϵ>0\epsilon \gt 0に対して、次の条件を満たす正の測度 μ(A)\mu (A)を持つ集合AΩA \subset \Omegaが存在する。

u(x)uϵ,if xA \left| u(x) \right| \ge \left\| u \right\|_{\infty} - \epsilon,\quad \text{if } x \in A

このようなAAが存在しない場合、u\left\| u \right\|_{\infty}\left\| \cdot \right\|_{\infty}の定義を満たさないので、AAの存在が保証される。したがって、次の式が成立する。

Ωu(x)pdxAu(x)pdxA(uϵ)pdxμ(A)(uϵ)p \int_{\Omega} \left| u(x) \right|^{p} dx \ge \int_{A} \left| u(x) \right|^{p} dx \ge \int_{A} \left( \left\| u \right\|_{\infty} - \epsilon \right)^{p} dx \ge \mu (A) \left( \left\| u \right\|_{\infty} - \epsilon \right)^{p}

したがって、次を得る。

up(μ(A))1/p(uϵ) \left\| u \right\|_{p} \ge \left( \mu (A) \right)^{1/p} \left( \left\| u \right\|_{\infty} - \epsilon \right)

これは全てのϵ\epsilonとそれに応じる任意のAAに対して成立しなければならないので、

lim infpupu \liminf \limits_{p \to \infty} \left\| u \right\|_{p} \ge \left\| u \right\|_{\infty}

したがって、

lim infpuplim suppupulim infpuplim suppup \liminf \limits_{p \to \infty} \left\| u \right\|_{p} \le \limsup _{p \to \infty} \left\| u \right\|_{p} \le \left\| u \right\|_{\infty} \le \liminf \limits_{p \to \infty} \left\| u \right\|_{p} \le \limsup _{p \to \infty} \left\| u \right\|_{p}

    lim infpup=u=lim suppup \implies \liminf _{p \to \infty} \left\| u \right\|_{p} = \left\| u \right\|_{\infty} = \limsup \limits_{p \to \infty} \left\| u \right\|_{p}

    limpup=u \implies \lim \limits_{p \to \infty} \left\| u \right\|_{p} = \left\| u \right\|_{\infty}

(c)

全ての1p<1 \le p \lt \inftyに対して、upK\left\| u \right\|_{p} \le KであるKKが存在するとしよう。そして、uL(Ω)u \in L^{\infty}(\Omega)またはuK\left\| u \right\|_{\infty} \le Kのどちらかが成立しないと仮定してみよう。すると、\left\| \cdot \right\|_{\infty}の定義により、次を満たす定数K1K_{1}と集合AΩA \subset \Omegaを見つけることができる。

K1>Kandμ(A)>0andu(x)>K1 for xA K_{1} \gt K \quad \text{and} \quad \mu (A) \gt 0 \quad \text{and} \quad \left| u(x) \right| \gt K_{1} \text{ for } x \in A

そうすると、(b)の証明のように次が成立する。

lim infpupK1>K \liminf \limits_{p \to \infty} \left\| u \right\|_{p} \ge K_{1} \gt K

これは全てのppに対してupK\left\| u \right\|_{p} \le Kという仮定に矛盾する。したがって、

uL(Ω)anduK u \in L^{\infty}(\Omega) \quad \text{and} \quad \left\| u \right\|_{\infty} \le K


  1. Robert A. Adams and John J. F. Foutnier, Sobolev Space (2nd Edition, 2003), p28-29 ↩︎