📂ルベーグ空間

ヘルダーの不等式の逆：Lp関数の十分条件

概要¹

$\Omega \subset \mathbb{R}^{n}$を開集合だとしよう。可測関数$u$が$L^{p}$空間に含まれるための必要十分条件は、

$$\sup \left\{ \int_{\Omega} \left| u(x) \right| v(x) dx : v(x) \ge 0 \text{ on } \Omega, \left\| v \right\|_{p^{\prime}} \le 1 \right\} \lt \infty$$

である。また、上のスプレムは$\left\| u \right\|_{p}$となる。ここで、$p^{\prime} = \dfrac{p}{p-1}$はヘルダー共役である。

説明

$1 \lt p \lt \infty$で、$v \in L^{p^{\prime}}$とする。すると、ヘルダーの不等式は$u \in L^{p}$ならば$uv \in L^{1}$であることを教えてくれる。

$$u\in L^{p}(\Omega) \implies \int_{\Omega} \left| u(x) v(x) \right| dx \le \left\| u \right\|_{p} \left\| v \right\|_{p^{\prime}}$$

逆に、この定理は$uv \in L^{1}$ならば$u \in L^{p}$であることを意味している。

$$u\in L^{p}(\Omega) \impliedby \sup \left\{ \int_{\Omega} \left| u(x) \right| v(x) dx : v(x) \ge 0 \text{ on } \Omega, \left\| v \right\|_{p^{\prime}} \le 1 \right\} \lt \infty$$

証明

$$u \in L^{p}(\Omega) \iff \sup \left\{ \int_{\Omega} \left| u(x) \right| v(x) dx : v(x) \ge 0 \text{ on } \Omega, \left\| v \right\|_{p^{\prime}} \le 1 \right\} \lt \infty$$

• $(\implies)$

  $\left\| u \right\|_{p} = 0$の場合は自明である。$0 \lt \left\| u \right\|_{p} \lt \infty$とする。$0 \le v$であり、$\left\| v \right\|_{q} \le 1$な$v \in L^{p^{\prime}}$に対してヘルダーの不等式を適用すると、

  $$\int_{\Omega} \left| u(x) \right| v(x) dx \le \left\| u \right\|_{p} \left\| v \right\|_{p^{\prime}} \le \left\| u \right\|_{p} \lt \infty$$

  また、$v = \left( \dfrac{ \left| u \right| }{ \left\| u \right\|_{p} } \right)^{p/p^{\prime}}$と置くと$\left\| v \right\|_{p^{\prime}} = 1$であり、等号が成立する。$p/p^{\prime} = p \dfrac{p-1}{p} = p-1$であるため、

  $$\begin{align*} \int_{\Omega} \left| u(x) \right| v(x) dx =&\ \int_{\Omega} \left| u(x) \right| \dfrac{ \left| u(x) \right|^{p/p^{\prime}} }{ \left\| u \right\|_{p}^{p/p^{\prime}} } dx \\ =&\ \int_{\Omega} \left| u(x) \right| \dfrac{ \left| u(x) \right|^{p-1} }{ \left\| u \right\|_{p}^{p-1} } dx \\ =&\ \dfrac{1}{ \left\| u \right\|_{p}^{p-1} } \int_{\Omega} \left| u(x) \right|^{p} dx \\ =&\ \dfrac{1}{ \left\| u \right\|_{p}^{p-1} } \left\| u \right\|_{p}^{p} \\ =&\ \left\| u \right\|_{p} \end{align*}$$

  従って、

  $$\sup \left\{ \int_{\Omega} \left| u(x) \right| v(x) dx : v(x) \ge 0 \text{ on } \Omega, \left\| v \right\|_{p^{\prime}} \le 1 \right\} = \left\| u \right\|_{p} \lt \infty$$

• $(\impliedby)$

  対偶法で証明する。つまり、次のようなものを示す。

  $$\left\| u \right\|_{p} = \infty \implies \sup \left\{ \int_{\Omega} \left| u(x) \right| v(x) dx : v(x) \ge 0 \text{ on } \Omega, \left\| v \right\|_{p^{\prime}} \le 1 \right\} = \infty$$

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  $\left\| u \right\|_{p} = \infty$と仮定する。すると、$\Omega$上で$0 \le s_{j}(x) \le \left| u(x) \right|$を満たすいくつかの単純関数 $s_{j}$からなる増加数列 $\left\{ s_{j} \right\}$を考えることができる。すると$\lim \limits_{j \to \infty} \left\| s_{j} \right\|_{p} = \infty$を満たす。今、$v_{j} = \left( \dfrac{ \left| s_{j} \right| }{ \left\| s_{j} \right\|_{p} } \right)^{p/p^{\prime}}$としよう。すると$v_{j} \ge 0$であり、以下のように$\left\| v_{j} \right\|_{p^{\prime}} = 1$を満たす。

  $$\begin{align*} \left\| v_{j} \right\|_{p^{\prime}}^{p^{\prime}} =&\ \int_{\Omega} \left( \dfrac{ \left| s_{j} \right| }{ \left\| s_{j} \right\|_{p} } \right)^{p} dx \\ =&\ \dfrac{1}{ \left\| s_{j} \right\|_{p}^{p} } \int_{\Omega} \left| s_{j} \right|^{p} dx \\ =&\ 1 \end{align*}$$

  また、$p/p^{\prime} = p \dfrac{p-1}{p} = p-1$であるため、次の式が成立する。

  $$\int_{\Omega} s_{j}(x) v_{j}(x) dx = \dfrac{1}{\left\| s_{j} \right\|_{p}^{p-1}}\int_{\Omega} \left| s_{j}(x) \right|^{p} dx = \left\| s_{j} \right\|_{p}$$

  すると、次も成立する。

  $$\int_{\Omega} \left| u(x) \right| v_{j}(x) dx \ge \int_{\Omega} s_{j}(x) v_{j}(x) dx = \left\| s_{j} \right\|_{p}$$

  だから、$\lim \limits_{j \to \infty} \left\| s_{j} \right\|_{p} = \infty$であるから、

  $$\sup \left\{ \int_{\Omega} \left| u(x) \right| v(x) dx : v(x) \ge 0 \text{ on } \Omega, \left\| v \right\|_{p^{\prime}} \le 1 \right\} = \infty$$

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