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線形変換：カーネルと値域 📂線形代数

線形変換：カーネルと値域

定義1

T:V→WT : V \to Wを線形変換とする。TTが0\mathbf{0}にマッピングするVVの要素の集合をカーネルまたは零空間と言い、以下のように表記する。

ker(T)=N(T):={v∈V:T(v)=0} \text{ker}(T) = N(T) := \left\{ \mathbf{v} \in V : T( \mathbf{v} ) = \mathbf{0} \right\}

すべてのv∈V\mathbf{v} \in VのTTによる像の集合をTTの値域またはイメージと言い、以下のように表記する。

R(T):={T(v):∀v∈V} R(T) := \left\{ T(\mathbf{v}) : \forall \mathbf{v} \in V \right\}

説明

T:V→WT : V \to Wが線形変換で、V,WV, Wが有限次元であれば、TTは実質的に行列と同じで、N(T)N(T)はTTを表す行列の零空間である。

定理

T:V→WT : V \to Wを線形変換とする。その場合、

  • (a) TTのカーネルはVVの部分空間である。
  • (b) TTの値域はWWの部分空間である。

証明

部分空間であることを示すためには、空集合ではなく、加法とスカラー倍で閉じていることを示せばよい。

(a)

TTが線形変換であれば、T(0)=0T(\mathbf{0})=\mathbf{0}によってN(T)N(T)は空集合ではない。今、v1,v2∈N(T)\mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2} \in N(T)であり、kkを任意のスカラーとする。すると、以下が成立する。

T(v1+v2)=T(v1)+T(v2)=0+0=0T(kv1)=kT(v1)=k0=0 \begin{align*} T( \mathbf{v}_{1} + \mathbf{v}_{2} ) &= T(\mathbf{v}_{1}) + T(\mathbf{v}_{2}) = \mathbf{0} + \mathbf{0} = \mathbf{0} \\ T( k\mathbf{v}_{1}) &= kT(\mathbf{v}_{1}) = k\mathbf{0} = \mathbf{0} \end{align*}

したがって、N(T)N(T)はVVの部分空間である。

■

(b)

TTが線形変換であれば、T(0)=0T(\mathbf{0})=\mathbf{0}によってR(T)R(T)は空集合ではない。今、w1,w2∈R(T)\mathbf{w}_{1}, \mathbf{w}_{2} \in R(T)であり、kkを任意のスカラーとする。すると、以下を満たすa,b∈V\mathbf{a}, \mathbf{b} \in Vが存在することを示せば十分である。

T(a)=w1+w2andT(b)=kw1 T(\mathbf{a}) = \mathbf{w}_{1} + \mathbf{w}_{2} \quad \text{and} \quad T(\mathbf{b}) = k\mathbf{w}_{1}

しかし、w1,w2∈R(T)\mathbf{w}_{1}, \mathbf{w}_{2} \in R(T)ということは、以下を満たすv1,v2∈V\mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2} \in Vが存在するという意味である。

T(v1)=w1andT(v2)=w2 T(\mathbf{v}_{1}) = \mathbf{w}_{1} \quad \text{and} \quad T(\mathbf{v}_{2}) = \mathbf{w}_{2}

したがって、以下の式が成立する。

w1+w2=T(v1)+T(v2)=T(v1+v2)=T(a)kw1=kT(v1)=T(kv1)=T(b) \begin{align*} \mathbf{w}_{1} + \mathbf{w}_{2} &= T(\mathbf{v}_{1}) + T(\mathbf{v}_{2}) = T(\mathbf{v}_{1} + \mathbf{v}_{2}) = T(\mathbf{a}) \\ k\mathbf{w}_{1} &= kT(\mathbf{v}_{1}) = T(k\mathbf{v}_{1})= T(\mathbf{b}) \end{align*}

したがって、R(T)R(T)はWWの部分空間である。

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  1. Howard Anton, Elementary Linear Algebra: アプリケーションバージョン (12版, 2019), p455-456 ↩︎