📂解析学

単調数列と単調数列定理

定義¹

実数の数列 $\left\{ s_{n} \right\}$について、

• $s_{n} \le s_{n+1}$が成り立てば、単調増加という。
• $s_{n} \ge s_{n+1}$が成り立てば、単調減少という。

単調増加または単調減少の数列を単調だという。

• $s_{n} \lt s_{n+1}$が成り立てば、増加数列という。
• $s_{n} \gt s_{n+1}$が成り立てば、減少数列という。

説明

数列は自然数を定義域とする関数として定義されるので、単調増加数列という言葉は定義域が自然数の単調増加関数という言葉と同義だ。定義により、増加（減少）数列なら単調増加（減少）数列だ。

収束する数列は有界だが、有界な数列の収束性は保証されない。単調数列という特殊な場合では、有界であることと収束することが同値となる。

定理

実数列 $\left\{ s_{n} \right\}$が単調だとしよう。すると、$\left\{ s_{n} \right\}$が収束することと有界であることは同値である。

証明

• 収束すれば有界である

• 有界ならば収束する

  $\left\{ s_{n} \right\}$が単調増加で有界だと仮定しよう。単調減少の場合も証明方法は同じだ。$E$を$\left\{ s_{n} \right\}$の値域としよう。すると、$E$の上限 $s$が存在する。

  $$s_{n} \le s,\quad \forall n\in \mathbb{N}$$

  すると、全ての $\epsilon > 0$に対して次の式を満たす整数 $N$が存在する。

  $$s - \epsilon < s_{N} \le s$$

  もしそうでなければ、$s-\epsilon = s$が$E$の上限であるという意味になるが、$s-\epsilon \ne s$なので矛盾するからだ。$\left\{ s_{n} \right\}$が単調増加数列なので、全ての $n \ge N$に対して次が成り立つ。

  $$s - \epsilon < s_{n} \le s$$

  これは次を意味するので、$\left\{ s_{n} \right\}$が収束するということだ。

  $$\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N}\ \mathrm{s.t}\ n\ge N \implies |s_{n} - s|<\varepsilon$$

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