行列変換

定義

$\mathbb{R}^{n}$から$\mathbb{R}^{m}$への関数が$m \times n$ 行列 $A$に関して下記のようにマッピングされる時、これを行列変換^{matrix transformation}と呼び、$T_{A} : \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}^{m}$のように表記する。

$$ \mathbf{w} = T_{A} (\mathbf{x}) = A\mathbf{x}\quad \left( \mathbf{x} \in \mathbb{R}^{n}, \mathbf{w} \in \mathbb{R}^{m} \right) $$

$\mathbf{x} \overset{T_{A}}{\to} \mathbf{w}$として示すこともある。

このマッピングを行列の表現で示すと、次のようになる。

$$ \begin{bmatrix} w_{1} \\ w_{2} \\ \vdots \\ w_{m} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n} \end{bmatrix} $$

線形システムの形で示すと、次のようになる。

$$ \begin{align*} w_{1} &= a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} + \cdots + a_{1n}x_{n} \\ w_{2} &= a_{21}x_{1} + a_{22}x_{2} + \cdots + a_{2n}x_{n} \\ &\vdots \\ w_{m} &= a_{m1}x_{1} + a_{m2}x_{2} + \cdots + a_{mn}x_{n} \end{align*} $$

説明

行列変換は線形変換の一種である。