📂確率分布論

平均がゼロの正規分布に従う確率変数のべき乗の期待値

公式

確率変数 $X$ が 正規分布 $N \left( 0 , \sigma^{2} \right)$ に従うとすると、その累乗 $X^{n}$ の 期待値 は次のように再帰的な公式で表される¹。 $$ E \left( X^{n} \right) = (n - 1) \sigma^{2} E \left( X^{n-2} \right) $$ $E \left( X^{n} \right)$ は $n$ が奇数のとき $0$ であり、偶数のときは以下の通りである²。 $$ E \left( X^{2n} \right) = \left( 2n - 1 \right)!! \sigma^{2n} $$ ここでビックリマークが二つ入った $k!! = k \cdot \left( k - 2 \right) \cdots$ は 二重階乗 を示す。

説明

広く知られる系として $E \left( X^{4} \right) = 3 \sigma^{4}$ が成立し、これは 伊藤の公式の導出 などに利用できる。

導出

結果を得る二つの方法がある。ガウス積分を用いる方式は一般化された公式を通じたショートカットであり、導出が簡単で速い。部分積分を用いる方式は多少難解だが、その過程で再帰公式も得ることができる。どちらの方法も次のように $E \left( X^{n} \right)$ を積分で解くことから始まる。 $$ E \left( X^{n} \right) = \int_{-\infty}^{\infty} {\frac{ 1 }{ \sqrt{2 \pi} \sigma }} x^{n} e^{-x^{2} / 2 \sigma^{2}} dx $$

ガウス積分を利用した方式

ガウス積分の一般化: $n$ が 自然数 としよう。 $$ \begin{align*} \int_{-\infty}^{\infty} x^{2n} e^{-\alpha x^{2}}dx =& \dfrac{(2n)!}{n! 2^{2n}}\sqrt{\dfrac{\pi}{\alpha^{2n+1}}} \\ \int_{-\infty}^{\infty} x^{2n+1} e^{-\alpha x^{2}}dx =& 0 \end{align*} $$

連続した奇数の積: 整数 $n \ge 0$ に関して次が成立する。 $$ (2n-1) \cdot (2n-3) \cdots 5 \cdot 3 \cdot 1 = \dfrac{(2n)!}{2^{n} (n!)} = (2n-1)!! $$

$n$ が奇数なら公式によってすぐに $E \left( X^{n} \right) = 0$ である。$n$ が偶数なら $\alpha = 1/2 \sigma^{2}$ を代入して次を得る。 $$ \begin{align*} E \left( X^{2n} \right) =& {\frac{ 1 }{ \sqrt{2 \pi} \sigma }} \int_{-\infty}^{\infty} x^{2n} e^{-x^{2} / 2 \sigma^{2}} dx \\ =& {\frac{ 1 }{ \sqrt{2 \pi} \sigma }} \frac{(2n)!}{n! 2^{2n}}\sqrt{\pi 2^{2n+1} \sigma^{4n+2}} \\ =& \frac{(2n)!}{n! 2^{n} 2^{n}}\sqrt{2^{2n} \sigma^{4n}} \\ =& \frac{(2n)!}{n! 2^{n} 2^{n}} 2^{n} \sigma^{2n} \\ =& \frac{(2n)!}{n! 2^{n}} \sigma^{2n} \\ =& (2n-1) !! \sigma^{2n} \end{align*} $$

部分積分を利用した方式

$$ I_{n} := \int_{-\infty}^{\infty} t^{n} e^{-t^{2} / 2} dt $$ $I_{n}$ を上記のようにおき、部分積分法 を使おう。この部分は多少難解である。 $$ \begin{align*} - I_{n} =& - \int_{-\infty}^{\infty} t^{n} e^{-t^{2} / 2} dt \\ =& \int_{-\infty}^{\infty} t^{n-1} \cdot {\frac{ - 2 t }{ 2 }} e^{-t^{2} / 2} dt \\ =& \left[ t^{n-1} \cdot e^{-t^{2} / 2} \right]_{-\infty}^{\infty} - \int_{-\infty}^{\infty} (n-1) t^{n-2} e^{-t^{2} / 2} dt \\ =& 0 - (n-1) I_{n-2} \end{align*} $$ 整理すると $I_{n} = (n-1) I_{n-2}$ であり、これを $E \left( X^{n} \right)$ を計算する過程に適用する。$t = x / \sigma$ と置換すると $dx = \sigma dt$ になるので $$ \begin{align*} E \left( X^{n} \right) =& \int_{-\infty}^{\infty} {\frac{ 1 }{ \sqrt{2 \pi} \sigma }} x^{n} e^{-x^{2} / 2 \sigma^{2}} dx \\ =& \int_{-\infty}^{\infty} {\frac{ 1 }{ \sqrt{2 \pi} \sigma }} \left( \sigma t \right)^{n} e^{-t^{2} / 2 } \cdot \sigma dt \\ =& {\frac{ \sigma^{n} }{ \sqrt{2 \pi} }} \int_{-\infty}^{\infty} t^{n} e^{-t^{2} / 2 } dt \\ =& {\frac{ \sigma^{n} }{ \sqrt{2 \pi} }} I_{n} \\ =& {\frac{ \sigma^{n} }{ \sqrt{2 \pi} }} (n-1) I_{n-2} \\ =& (n-1) {\frac{ \sigma^{2} \cdot \sigma^{n-2} }{ \sqrt{2 \pi} }} \int_{-\infty}^{\infty} t^{n-2} e^{-t^{2} / 2} dt \\ =& (n-1) \sigma^{2} \int_{-\infty}^{\infty} {\frac{ \sigma^{n-2} }{ \sqrt{2 \pi} }} t^{n-2} e^{-t^{2} / 2} dt \\ =& (n-1) \sigma^{2} E \left( X^{n-2} \right) \end{align*} $$ を得る。$X$ は平均が $0$ の正規分布と仮定したので $E \left( X^{1} \right) = 0$ であり、すべての奇数 $n$ に対して $E \left( X^{n} \right) = 0$ である。偶数については再帰公式を展開することにより次の結果を得る。 $$ \begin{align*} E \left( X^{2n} \right) =& (2n-1) \sigma^{2} E \left( X^{2n-2} \right) \\ =& (2n-1) \sigma^{2} \cdot (2n-3) \sigma^{2} E \left( X^{2n-4} \right) \\ \vdots& \\ =& [ (2n-1) (2n-3) \cdots 1 ] \sigma^{2(n-1)} E \left( X^{2} \right) \\ =& (2n-1)!! \sigma^{2n} \end{align*} $$

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