📂量子力学

交換子の性質

定義

二つの演算子$A, B$に対して、$AB - BA$は$A, B$の交換子と定義され、次のように表記される。

$$ [A,B]=AB-BA $$

性質

$$ \begin{align} [A, A] &= 0 \\[1em] [A, B] &= -[B, A] \\[1em] [A+B, C] &= [A, C] + [B, C] \\[1em] [AB, C] &= A[B, C]+[A, C]B \\[1em] [A,BC] &= B[A,C]+ [A,B]C \end{align} $$

説明

量子力学を記述する主な方法が行列だ。ところが、行列は乗算に対して交換法則が成り立たない。だから、$A,\ B$という演算子（行列）があるとき、以下のように展開すると一般的には正しくない。

$$ (A+B)^{2} = A^{2} + 2AB + B^{2} $$

正しく展開すると次のとおり。

$$ (A+B)^{2} = A^{2} + AB + BA + B^{2} $$

'演算子=行列'と覚えておくことがミスを減らす道だ。上記の性質は交換子を計算するときに便利に使われる。

証明

(1)

$$ [A, A]=AA-AA=0 $$

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(2)

$$ [A,B] = AB-BA = -(BA-AB) = -[B,A] $$

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(3)

$$ \begin{align*} [A+B,C] &= (A+B)C-C(A+B) \\ &= AC+BC-CA-CB \\ &= (AC-CA) + (BC-CB) \\ &= [A,C]+[B,C] \end{align*} $$

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(4)

$$ \begin{align*} [AB,C] &= (AB)C-C(AB) \\ &= ABC-CAB \\ &= (ABC {\color{blue}-CAB})+(ACB {\color{red}-ACB}) \\ &= (ABC {\color{red}-ACB}) + (ACB {\color{blue}-CAB}) \\ &= A(BC-CB) +(AC-CA)B \\ &= A[B,C] + [A,C]B \end{align*} $$

(5)

$$ \begin{align*} [A,BC] &= A(BC)-(BC)A \\ &= ABC-BCA \\ &= ({\color{blue}ABC} -BCA)+({\color{red}BAC} -BAC) \\ &= ( {\color{red}BAC}-BCA )+({\color{blue}ABC}-BAC) \\ &= B[A,C] + [A,B]C \end{align*} $$

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