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デカルト座標系の単位ベクトルを球面座標系の単位ベクトルに表示する 📂数理物理学

デカルト座標系の単位ベクトルを球面座標系の単位ベクトルに表示する

公式

直交座標系の単位ベクトルを球座標系の単位ベクトルに表す式は下記の通りだ。 x^=cos⁡ϕsin⁡θr^+cos⁡ϕcos⁡θθ^−sin⁡ϕϕ^y^=sin⁡ϕsin⁡θr^+sin⁡ϕcos⁡θθ^+cos⁡ϕϕ^z^=cos⁡θr^−sin⁡θθ^ \begin{align*} \hat{ \mathbf{x} }&= \cos \phi \sin \theta \hat{ \mathbf{r} } + \cos \phi \cos \theta \hat{ \boldsymbol{\theta} } - \sin\phi\hat{ \boldsymbol{\phi} } \\ \hat{ \mathbf{y} } &= \sin\phi\sin\theta \hat{ \mathbf{r} } + \sin\phi\cos\theta\hat{ \boldsymbol{\theta} } + \cos\phi\hat{ \boldsymbol{\phi} } \\ \hat{ \mathbf{z} } &= \cos\theta\hat{ \mathbf{r} } - \sin\theta\hat{ \boldsymbol{\theta} } \end{align*}

球座標系の単位ベクトルを直交座標系の単位ベクトルに表すと以下のようになる。(球座標系と直交座標系の関係)

r^=cos⁡ϕsin⁡θx^+sin⁡ϕsin⁡θy^+cos⁡θz^θ^=cos⁡ϕcos⁡θx^+sin⁡ϕcos⁡θy^−sin⁡θz^ϕ^=−sin⁡ϕx^+cos⁡ϕy^ \begin{align*} \hat{ \mathbf{r} } &= \cos\phi \sin\theta \hat{ \mathbf{x} } + \sin\phi \sin\theta\hat{ \mathbf{y} } + \cos\theta\hat{ \mathbf{z} } \\ \hat{ \boldsymbol{\theta} } &= \cos\phi \cos\theta \hat{ \mathbf{x} } + \sin\phi \cos\theta\hat{ \mathbf{y} } - \sin\theta\hat{ \mathbf{z} } \\ \hat{ \boldsymbol{\phi} } &= -\sin\phi \hat{ \mathbf{x} } + \cos\phi \hat{ \mathbf{y} } \end{align*}

導出

単位ベクトル x^\hat{\mathbf{x}}

x^\hat{ \mathbf{x} }を求めるためには、r^, θ^, ϕ^\hat{ \mathbf{r} } ,\ \hat{ \boldsymbol{\theta} } ,\ \hat{ \boldsymbol{\phi} }に適当な数をかけた上で足すとy^, z^\hat{ \mathbf{y} } ,\ \hat{ \mathbf{z} }項が消えるようにする必要がある。よく見ると、r^\hat{ \mathbf{r} }にsin⁡θ\sin \thetaをかけて、θ^\hat{ \boldsymbol{\theta} }にcos⁡θ\cos \thetaをかけて足すと、z^\hat{ \mathbf{z} }項が消えることがわかる。

sin⁡θr^+cos⁡θθ^=(cos⁡ϕsin⁡2θ+cos⁡ϕcos⁡2θ)x^+(sin⁡ϕsin⁡2θ+sin⁡ϕcos⁡2θ)y^=cos⁡ϕx^+sin⁡ϕy^ \begin{align*} & \sin \theta \hat{ \mathbf{r} } + \cos \theta \hat{ \boldsymbol{\theta} } \\ &= (\cos \phi \sin^2 \theta + \cos \phi \cos^2\theta)\hat{ \mathbf{x} } + (\sin \phi \sin^2 \theta + \sin \phi \cos^2 \theta)\hat{ \mathbf{y} } \\ &= \cos \phi \hat{ \mathbf{x} } +\sin \phi \hat{ \mathbf{y} } \end{align*}

さらにこの結果にcos⁡ϕ\cos \phiをかけて、ϕ^\hat{ \boldsymbol{\phi} }に−sin⁡ϕ-\sin \phiをかけて足すと、綺麗にx^\hat{ \mathbf{x} }が求められる。

cos⁡ϕ(sin⁡θr^+cos⁡θθ^)−sin⁡ϕϕ^=(cos⁡2ϕx^+cos⁡ϕsin⁡ϕy^)+(sin⁡2ϕx^−sin⁡ϕcos⁡ϕy^)=x^ \begin{align*} & \cos \phi (\sin \theta \hat{ \mathbf{r} } + \cos \theta \hat{ \boldsymbol{\theta} })-\sin \phi \hat{ \boldsymbol{\phi} } \\ &= (\cos^2\phi \hat{ \mathbf{x} } + \cos \phi \sin \phi \hat{ \mathbf{y} } ) + (\sin^2\phi \hat{ \mathbf{x} } -\sin \phi \cos \phi \hat{ \mathbf{y} } ) \\ &= \hat{ \mathbf{x} } \end{align*}

したがって、整理すると以下の通りだ。

x^=cos⁡ϕsin⁡θr^+cos⁡ϕcos⁡θθ^−sin⁡ϕϕ^ \hat{ \mathbf{x} } = \cos \phi \sin \theta \hat{ \mathbf{r} } + \cos \phi \cos \theta \hat{ \boldsymbol{\theta} } - \sin\phi\hat{ \boldsymbol{\phi} }

単位ベクトル y^\hat{\mathbf{y}}

方法はx^\hat{ \mathbf{x} }の場合と同じなので、説明抜きで数式だけを記す。z^\hat{ \mathbf{z} }項を排除する部分はx^\hat{ \mathbf{x} }の場合と同じだ。

sin⁡θr^+cos⁡θθ^=cos⁡ϕx^+sin⁡ϕy^  ⟹  sin⁡ϕ(sin⁡θr^+cos⁡θθ^)=sin⁡ϕcos⁡ϕx^+sin⁡2ϕy^ \begin{align*} &&\sin \theta \hat{ \mathbf{r} } + \cos \theta \hat{ \boldsymbol{\theta} } &= \cos \phi \hat{ \mathbf{x} } + \sin \phi \hat{ \mathbf{y} } \\ \implies&& \sin\phi (\sin\theta\hat{ \mathbf{r} }+\cos\theta \hat{ \boldsymbol{\theta} } ) &= \sin \phi \cos \phi \hat{ \mathbf{x} } + \sin^2\phi \hat{ \mathbf{y} } \end{align*}

そして

cos⁡ϕϕ^=−sin⁡ϕcos⁡ϕx^+cos⁡2ϕy^ \cos \phi \hat{ \boldsymbol{\phi} }=-\sin\phi\cos\phi\hat{ \mathbf{x} }+\cos^2\phi\hat{ \mathbf{y} }

従って、以下の通りだ。

sin⁡ϕ(sin⁡θr^+cos⁡θθ^)+cos⁡ϕϕ^=(cos⁡2ϕ+sin⁡2ϕ)y^=y^ \begin{align*} && \sin\phi (\sin\theta\hat{ \mathbf{r} }+\cos\theta \hat{ \boldsymbol{\theta} } )+\cos \phi \hat{ \boldsymbol{\phi} } &= (\cos^2\phi + \sin^2\phi )\hat{ \mathbf{y} } \\ && &= \hat{ \mathbf{y} } \end{align*}

∴y^=sin⁡ϕsin⁡θr^+sin⁡ϕcos⁡θθ^+cos⁡ϕϕ^ \therefore \hat{ \mathbf{y} } = \sin\phi\sin\theta \hat{ \mathbf{r} } + \sin\phi\cos\theta \hat{ \boldsymbol{\theta} } + \cos\phi \hat{ \boldsymbol{\phi} }

単位ベクトル z^\hat{\mathbf{z}}

z^\hat{ \mathbf{z} }項が残るように、r^\hat{ \mathbf{r} }にcos⁡θ\cos\thetaをかけて、θ^\hat{ \boldsymbol{\theta} }に−sin⁡θ-\sin\thetaをかけて足すと、以下のようになる。

cos⁡θr^−sin⁡θθ^=cos⁡θ(cos⁡ϕsin⁡θx^+sin⁡ϕsin⁡θy^+cos⁡θz^)−sin⁡θ(cos⁡ϕcos⁡θx^+sin⁡ϕcos⁡θy^−sin⁡θz^)=(sin⁡θcos⁡θcos⁡ϕx^+sin⁡θcos⁡θsin⁡ϕy^+cos⁡2θz^)+(−sin⁡θcos⁡θcos⁡ϕx^−sin⁡θcos⁡θsin⁡ϕy^+sin⁡2θz^)=(cos⁡2θ+sin⁡2θ)z^=z^ \begin{align*} \cos\theta\hat{ \mathbf{r} } -\sin\theta \hat{ \boldsymbol{\theta} } &=\cos\theta (\cos \phi \sin \theta \hat{\mathbf{x}}+\sin \phi \sin \theta \hat{\mathbf{y}}+\cos\theta\hat{\mathbf{z}}) \\ &\quad -\sin \theta (\cos \phi \cos \theta \hat{\mathbf{x}} + \sin \phi \cos \theta \hat{\mathbf{y}} -\sin \theta \hat{\mathbf{z}}) \\ &= (\sin\theta\cos\theta\cos\phi \hat{ \mathbf{x} } + \sin\theta\cos\theta\sin\phi \hat{ \mathbf{y} }+ \cos^2\theta \hat{ \mathbf{z} }) \\ &\quad +(-\sin\theta\cos\theta\cos\phi \hat{ \mathbf{x} }-\sin\theta\cos\theta\sin\phi \hat{ \mathbf{y} } + \sin^2{\theta} \hat{ \mathbf{z} }) \\ &= (\cos^2\theta + \sin ^2 \theta ) \hat{ \mathbf{z} } \\ &= \hat{ \mathbf{z} } \end{align*}

∴z^=cos⁡θr^−sin⁡θθ^ \therefore \hat{ \mathbf{z} } = \cos\theta\hat{ \mathbf{r} } - \sin\theta \hat{ \boldsymbol{\theta} }