無限ポテンシャル井戸における波動関数固有関数とエネルギー固有値の求め方
📂量子力学 無限ポテンシャル井戸における波動関数固有関数とエネルギー固有値の求め方 まとめ ポテンシャルが無限の長方形の形をしている場合、波動関数 のエネルギー（固有値 ）は
E n = n 2 π 2 ℏ 2 2 m a 2 ( n = 0 , 1 , 2 , … )
E_{n}=\frac{n^{2}\pi^{2}\hbar^{2}}{2ma^{2}} \quad (n = 0, 1, 2, \dots)
E n = 2 m a 2 n 2 π 2 ℏ 2 ( n = 0 , 1 , 2 , … )
と同じで、各エネルギーに対応する波動関数（固有状態 ）は以下の通りだ。
ψ n ( x ) = 2 a sin n π a x
\psi_{n}{(x)} = \sqrt{\frac{2}{a}}\sin \frac{n\pi}{a}x
ψ n ( x ) = a 2 sin a nπ x
説明
このような形のポテンシャルを無限ポテンシャル井戸 infinite potential well と言うんだ。箱の中の粒子モデルparticle in a box model とも呼ばれる。粒子が特定の区間を絶対に逸脱できない状況を描写するモデルなんだ。非常に単純なモデルだけど、古典力学の結果とは大きく異なる様相を見せる。古典力学では粒子が見つかる位置が区間内で均一なのに対し、量子力学では位置によって粒子が見つかる確率に差がある。
証明 ポテンシャルU U U
− ℏ 2 2 m d 2 ψ ( x ) d x 2 + U ψ ( x ) = E ψ ( x ) , U = { ∞ , − ∞ < x < 0 0 , 0 < x < a ∞ , a < x < ∞
-\frac{\hbar ^{2}}{2m}\frac{d^{2} \psi{(x)}}{dx^{2}}+U\psi{(x)}=E\psi{(x)},\ \ U=\begin{cases} \infty, & -\infty < x <0
\\ 0, & 0<x<a
\\ \infty, & a<x<\infty \end{cases}
− 2 m ℏ 2 d x 2 d 2 ψ ( x ) + U ψ ( x ) = E ψ ( x ) , U = ⎩ ⎨ ⎧ ∞ , 0 , ∞ , − ∞ < x < 0 0 < x < a a < x < ∞
E < 0 E \lt 0 E < 0 ポテンシャルは常に0 0 0 波動関数が存在しない 。
E > 0 E \gt 0 E > 0 0 < x < a 0 \lt x \lt a 0 < x < a 区間[ 0 , a ] [0, a] [ 0 , a ] U = 0 U = 0 U = 0
d 2 ψ d x 2 + 2 m ℏ 2 E ψ = 0
\frac{d^{2} \psi}{dx^{2}} + \frac{2m}{\hbar^{2}}E\psi=0
d x 2 d 2 ψ + ℏ 2 2 m E ψ = 0
E E E 2 m ℏ 2 E \dfrac{2m}{\hbar^{2}}E ℏ 2 2 m E k 2 k^{2} k 2
d 2 ψ d x 2 + k 2 ψ = 0
\frac{d^{2} \psi}{dx^{2}} + k^{2}\psi = 0
d x 2 d 2 ψ + k 2 ψ = 0
この微分方程式の解 は以下の通りだ。
ψ = A sin k x + B cos k x
\psi = A\sin kx + B\cos kx
ψ = A sin k x + B cos k x
ここで境界条件( b o u n d a r y c o n d i t i o n ) ( \mathrm{boundary \ condition}) ( boundary condition ) ψ ( 0 ) = ψ ( a ) = 0 \psi{(0)}=\psi{(a)}=0
ψ ( 0 ) = ψ ( a ) = 0 sin
\sin sin cos \cos cos ψ ( x ) = A sin k x \psi{(x)}=A \sin kx ψ ( x ) = A sin k x k k k ψ ( a ) = A sin k a = 0 \psi (a)=A \sin ka =0 ψ ( a ) = A sin ka = 0 0 0 0 k a = n π ⟹ k = n π a \displaystyle ka=n\pi \implies k=\frac{n\pi}{a}
ka = nπ ⟹ k = a nπ ψ ( x ) = A sin n π a x
\psi{(x)}=A \sin \frac{n\pi}{a}x ψ ( x ) = A sin a nπ x A A A 1 1 1 \displaystyle \begin{align*}
1 &= \int_{0}^a |A|^{2} \sin^{2} \frac{n\pi}{a}x dx
\\ &= |A|^{2} \int_{0}^a \frac{1}{2}(1-\cos \frac{2n\pi}{a}x)dx
\\ &= |A|^{2}\frac{1}{2} \left[x-\frac{a}{2n\pi}\sin \frac{2n\pi}{a}x\right]_{0}^a
\\ &= |A|^{2} \frac{a}{2}
\end{align*}
⟹ A = 2 a
\implies A=\sqrt{\frac{2}{a}} ⟹ A = a 2 ψ ( x ) = 2 a sin n π a x \displaystyle \psi{(x)}=\sqrt{\frac{2}{a}}\sin \frac{n\pi}{a}x ψ ( x ) = a 2 sin a nπ x n n n G r o u n d s t a t e \mathrm{Ground\ state} Ground state E x c i t e d s t a t e \mathrm{Excited\ state} Excited state ψ 1 ( x ) = 2 a sin ( π a x ) \psi_{1}(x)=\sqrt{\dfrac{2}{a}}\sin\left( \dfrac{\pi}{a}x \right) ψ 1 ( x ) = a 2 sin ( a π x ) ψ 2 ( x ) = 2 a sin ( 2 π a x ) \psi_2(x)=\sqrt{\dfrac{2}{a}}\sin\left( \dfrac{2\pi}{a}x \right) ψ 2 ( x ) = a 2 sin ( a 2 π x ) ψ 3 ( x ) = 2 a sin ( 3 π a x ) \psi_{3}(x)=\sqrt{\dfrac{2}{a}}\sin\left( \dfrac{3\pi}{a}x \right) ψ 3 ( x ) = a 2 sin ( a 3 π x ) 2 m ℏ 2 E = k 2 , k = n π a \displaystyle \frac{2m}{\hbar^{2}}E=k^{2},\ k=\frac{n\pi}{a} ℏ 2 2 m E = k 2 , k = a nπ E = ℏ 2 k 2 2 m = n 2 π 2 ℏ 2 2 m a 2 \displaystyle E=\frac{\hbar^{2}k^{2}}{2m}=\frac{n^{2}\pi^{2}\hbar^{2}}{2ma^{2}} E = 2 m ℏ 2 k 2 = 2 m a 2 n 2 π 2 ℏ 2 E E E n n n n n n n 2 n^{2} n 2 n n n E n = n 2 π 2 ℏ 2 2 m a 2 \displaystyle E_{n}=\frac{n^{2}\pi^{2}\hbar^{2}}{2ma^{2}} E n = 2 m a 2 n 2 π 2 ℏ 2
