📂確率分布論

ビンガム-マルディア 分布

定義 ¹

ユニークモード^{unique mode} $\mu \in S^{p-1}$ と 集中^{concentration} $\kappa > 0$ そして半径 $\nu > 0$ について、次のような確率密度関数を持つ多変量分布 $\text{BM}_{p} \left( \mu , \kappa, \nu \right)$ を ビンガム・マーディア分布^{bingham-Mardia distribution}と言う。 $$f \left( \mathbf{x} \right) = {{ 1 } \over { \alpha \left( \kappa , \nu \right) }} \exp \left( - \kappa \left( \mu^{T} \mathbf{x} - \nu \right)^{2} \right) \qquad , \mathbf{x} \in S^{p-1}$$ ここで、$\alpha \left( \kappa , \nu \right) > 0$ は $\int_{S^{p-1}} f(\mathbf{x}) d \mathbf{x} = 1$ となるようにする正規化定数^{normalizing constant}だ。

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• $S^{p-1} \subset \mathbb{R}^{p}$ はユニットスフィアだ。
• $\mu ^{T}$ はベクトル $\mu$ に転置を施したものだ。

説明

ビンガム・マーディア分布は、球面上で小さい円^{small Circle}形のクラスターを成す確率分布だ。

フォンミーゼス・フィッシャー分布の確率密度関数: $$f \left( \mathbf{x} \right) = \left( {{ \kappa } \over { 2 }} \right)^{p/2-1} {{ 1 } \over { \gamma \left( p/2 \right) I_{p/2-1} \left( \kappa \right) }} \exp \left( \kappa \mu^{T} \mathbf{x} \right) \qquad , \mathbf{x} \in S^{p-1}$$

球面上の正規分布のような感じだったフォンミーゼス・フィッシャー分布と比較してみれば、ビンガム・マーディア分布の確率密度関数では、$\kappa \left( \mu^{T} \mathbf{x} - \nu \right)^{2}$ が円形を成す役割をするという点が容易に理解できるだろう。