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ローレンツ変換の導出

導出

• 言葉は少し長くなるけど、とても簡単に書いたから、怖がらずにやってみよう。

$A$慣性系(座標系)の平面で動く光(光子)を考えてみよう。$t=0$の時、原点から出発して$x$軸と$\theta$の角度をなして進んでいる。

ガリレイ変換の代わりになる新しい変換の形は以下のように言える。

$$\begin{pmatrix} t^{\prime} \\ x^{\prime} \\ y^{\prime} \\ z^{\prime} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} & & & \\ & & & \\ & & & \\ & & & \end{pmatrix} \begin{pmatrix} t \\ ct\cos\theta \\ ct\sin\theta \\ 0 \end{pmatrix}$$

新しい変換を見つける前に、まずガリレイ変換を考えてみよう。

$$\begin{pmatrix} t^{\prime} \\ x^{\prime} \\ y^{\prime} \\ z^{\prime} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \color{red}1 & \color{red}0 & 0 & 0 \\ \color{red}{-v_{0}} & \color{red}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} t \\ x \\ y \\ z \end{pmatrix}$$

ここで、私たちが新しく得たい変換も、動いていない方向には影響を与えないと仮定しよう。つまり、$A^{\prime}$慣性系が$x$方向に動いているので、$y$、$z$成分は影響を与えないとしよう。それならば、私たちが得たい新しい変換はガリレイ変換で赤い部分だけが変わることだ。したがって、新しい変換を以下のようにしよう。

$$\begin{equation} \begin{pmatrix} t^{\prime} \\ x^{\prime} \\ y^{\prime} \\ z^{\prime} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b & 0 & 0 \\ e & d & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} t \\ ct\cos\theta \\ ct\sin\theta \\ 0 \end{pmatrix} \label{eq1} \end{equation}$$

アルファベット順では、$e$の場所に$c$が入るのが自然だが、$c$は光速を使うため、$e$を使った。これで、与えられた条件から、$a$、$b$、$e$、$d$を見つければいい。行列を解くと以下のようになる。

$$\begin{align} t^{\prime} &= at+bct\cos\theta \label{eq2} \\ x^{\prime} &= et+dct\cos\theta \label{eq3} \\ y^{\prime} &= ct\sin\theta \label{eq4} \\ z^{\prime} &= 0 \nonumber \end{align}$$

$(2)$を$t$に関して整理すると以下のようになる。

$$t = \frac{t^{\prime}}{a+bc\cos\theta}$$

これを$(3),$ $(4)$に代入すると以下を得る。

$$\begin{align*} x^{\prime} &= \frac{e+dc\cos\theta}{a+bc\cos\theta}t^{\prime} \\ y^{\prime} &= \frac{c\sin\theta}{a+bc\cos\theta}t^{\prime} \end{align*}$$

相対性理論によると、この光の速度は$A$系でも$c$であり、$A^{\prime}$系でも$c$でなければならない。これを式で表すと以下のようになる。

$$\begin{align} {v^{\prime}_{x}} ^{2}+{v^{\prime}_{y}} ^{2}+{v^{\prime}_{z}} ^{2}=c^2 \label{eq5} \end{align}$$

上で得た$x^{\prime}$、$y^{\prime}$を使って$v_{x}^{\prime}$、$v_{y}^{\prime}$を求めると以下のようになる。

$$\begin{align*} v^{\prime}_{x} &= \frac{dx^{\prime}}{dt^{\prime}}=\frac{e+dc\cos\theta}{a+bc\cos\theta} \\ v^{\prime}_{y} &= \frac{dy^{\prime}}{dt^{\prime}}=\frac{c\sin\theta}{a+bc\cos\theta} \\ v^{\prime}_{z} &= 0 \end{align*}$$

上の3つの式を$(5)$に代入すると以下のようになる。

$$\begin{align*} && \left( \frac{e+dc\cos\theta}{a+bc\cos\theta} \right)^{2} + \left( \frac{c\sin\theta}{a+bc\cos\theta} \right) ^{2} &= c^{2} \\ \implies && (e+dc\cos\theta)^{2} + c^{2}\sin^{2}\theta &= c^{2}(a+bc\cos\theta)^{2} \\ \implies && e^{2}+2edc\cos\theta + d^2c^{2}\cos^{2}\theta + {\color{blue}c^{2}\sin^{2}\theta} &= c^2a^{2}+2abc^3\cos\theta+b^2c^4\cos^{2}\theta \\ \implies && e^{2}+2edc\cos\theta + d^2c^{2}\cos^{2}\theta + {\color{blue}c^{2}-c^{2}\cos^{2}\theta} &= c^2a^{2} + 2abc^3\cos\theta + b^2c^4\cos^{2}\theta \end{align*}$$

上の式を$\cos\theta$に関してまとめると以下を得る。

$$c^{2}(d^{2}-1)\cos^{2}\theta + 2edc\cos\theta + (e^{2}+c^{2}) = b^2c^4\cos^{2}\theta + 2abc^3\cos\theta + a^2c^{2}$$

この時、両辺の定数項、1次項の係数、2次項の係数が同じでなければならないので、以下の式を得る。

$$\begin{align} e^{2}+c^{2} & =a^{2}c^{2} \\ 2edc=2abc^3 \quad &\implies \quad ed = abc^{2} \\ c^{2}(d^{2}-1) = b^{2}c^{4} \quad & \implies \quad d^{2}-1=b^{2}c^{2} \end{align}$$

$(6)$、$(7)$、$(8)$の3つの条件を得たが、私たちが求めようとしている未知数は$4$個なので、もう一つの条件が必要だ。残りの一つの式は、粒子が静止している条件から求めることができる。$A$系の原点で静止している粒子の変換式は以下のようになる。

$$\begin{pmatrix} t^{\prime} \\ x^{\prime} \\ y^{\prime} \\ z^{\prime} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b & 0 & 0 \\ e & d & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} t \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} at \\ et \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} t^{\prime} \\ -v_{0}t^{\prime} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$

したがって、次の式を得る。

$$\begin{align*} t^{\prime} &= at \\ et &= -v_{0}t^{\prime}=-v_{0}at \end{align*}$$

すると、以下の式を得る。

$$\begin{align} e = -v_{0}a \label{eq9} \end{align}$$

この時、$A^{\prime}$系の速度が$0$であれば、$A$系と$A^{\prime}$系の世界線が同じであるため、変換は以下のようになる。

$$\begin{pmatrix} t^{\prime} \\ x^{\prime} \\ y^{\prime} \\ z^{\prime} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} t \\ x \\ y \\ z \end{pmatrix}$$

したがって、$v_{0}=0$の時、以下の式を得る。

$$\begin{align} a=1,\quad b=0,\quad e=0,\quad d=1 \label{eq10} \end{align}$$

上の条件で$(6)$に$(9)$を代入すると以下を得る。

$$\begin{align*} && \quad{v_{0}}^{2} a^{2}+c^{2} &= c^{2} a^{2} \\ \implies && a^{2} &= \frac{c^{2}}{c^{2}-{v_{0}}^{2}} \\ \implies && a &= \pm\frac{c}{\sqrt{c^{2}-{v_{0}}^{2}}} \end{align*}$$

この時、$(10)$によって$v_{0}=0$の時$a=1$なので以下のようになる。

$$a=\frac{c}{\sqrt{c^{2}-{v_{0}}^{2}}}$$

上で得た$a$を$(9)$に代入すると以下のようになる。

$$e = -v_{0}\frac{c}{\sqrt{c^{2}-{v_{0}}^{2}}}$$

$(7)$に$(9)$を代入すると以下のようになる。

$$\begin{align} && ed &= abc^{2} \nonumber \\ \implies && -v_{0} ad &= abc^{2} \nonumber \\ \implies && d &= \frac{bc^{2}}{{-v_{0}}} \end{align}$$

上で得た$d$を$(8)$に代入すると以下のようになる。

$$\begin{align*} && \frac{b^2c^4}{{v_{0}}^{2}}-1 &= b^2c^{2} \\ \implies && \frac{b^2c^4}{{v_{0}}^{2}}-b^2c^{2} &= 1 \\ \implies && \frac{b^2c^{2}}{{v_{0}}^{2}}{(c^{2}-{v_{0}}^{2})} &= 1 \\ \implies && b^{2}&= \frac{{v_{0}}^{2}}{c^{2}(c^{2}-{v_{0}}^{2})} \\ \implies && b &= \pm\frac{v_{0}}{c\sqrt{c2-{v_{0}}^{2}}} \end{align*}$$

これを再度$(11)$に代入すると以下を得る。

$$d=-\frac{b}{v_{0}}c^{2}=\mp \frac{c^{2}}{v_{0}}\frac{v_{0}}{c\sqrt{c^{2}-{v_{0}}^{2}}}=\mp \frac{c}{\sqrt{c^{2}-{v_{0}}^{2}}}$$

$(10)$によって$v_{0}=0$の時$d=1$なので以下のようになる。

$$\begin{align*} d &= \frac{c}{\sqrt{c^{2}-{v_{0}}^{2}}} \\ b &= -\frac{v_{0}}{c\sqrt{c^{2}-{v_{0}}^{2}}} \end{align*}$$

上で得た$a, b, c, d$を整理すると以下の式を得る。

$$\begin{align*} a &= \frac{c}{\sqrt{c^{2}-{v_{0}}^{2}}}, & b &= -\frac{v_{0}}{c\sqrt{c^{2}-{v_{0}}^{2}}} \\ e &= -v_{0}\frac{c}{\sqrt{c^{2}-{v_{0}}^{2}}}, & d &= \frac{c}{\sqrt{c^{2}-{v_{0}}^{2}}} \end{align*}$$

これを$(1)$に代入すると以下のようになる。

$$\begin{pmatrix} t^{\prime} \\ x^{\prime} \\ y^{\prime} \\ z^{\prime} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \dfrac{c}{\sqrt{c^{2}-{v_{0}}^{2}}} & -\dfrac{v_{0}}{c\sqrt{c^{2}-{v_{0}}^{2}}} & 0 & 0 \\ -v_{0} \dfrac{c}{\sqrt{c^{2}-{v_{0}}^{2}}} & \dfrac{c}{\sqrt{c^{2}-{v_{0}}^{2}}} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} t \\ x \\ y \\ z \end{pmatrix}$$

ここで、$\begin{pmatrix} t \\ x \\ y \\ z \end{pmatrix}$を時空間4ベクトル^{time-space four-vector}という。しかし、$x, y, z$は長さの単位であり、$t$だけが時間の単位なので、単位を合わせるために$t$の代わりに$ct$を使う(時間*速度=距離であり、$c$は光の速度であるため)。

$$\begin{array}{ccc} t^{\prime} = \dfrac{c}{\sqrt{\ \ }}t -\dfrac{v_{0}}{c} \dfrac{1}{\sqrt{\ \ }} x && ct^{\prime} =\dfrac{c}{\sqrt{\ \ }}ct - \dfrac{v_{0}}{\sqrt{\ \ }}x \\ & \implies & \\ x^{\prime} =\dfrac{-v_{0}c}{\sqrt{\ \ }}t +\dfrac{c}{\sqrt{\ \ }}x && x^{\prime}= \dfrac{-v_{0}}{\sqrt{\ \ }}ct + \dfrac{c}{\sqrt{ \ \ }}x \end{array}$$

単位を合わせた4-ベクトルは以下のようになる。

$$\begin{pmatrix} ct^{\prime} \\ x^{\prime} \\ y^{\prime} \\ z^{\prime} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \dfrac{c}{\sqrt{c^{2}-{v_{0}}^{2}}} & -\dfrac{v_{0}}{\sqrt{c^{2}-{v_{0}}^{2}}} & 0 & 0 \\ \dfrac{-v_{0}}{\sqrt{c^{2}-{v_{0}}^{2}}} & \dfrac{c}{\sqrt{c^{2}-{v_{0}}^{2}}} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} ct \\ x \\ y \\ z \end{pmatrix}$$

この変換は、正確にマクスウェル方程式に適合する(どの座標系でも光の速度が$c$である)新しい変換である。この変換をローレンツ変換^{Lorentz transformation}と呼ぶ。しかし、上の形で書くには複雑すぎるので、共通の部分を定数にすることが便利だ。以下の$\gamma_{0}$をローレンツ因子^{Lorentz factor}と呼ぶ。

$$\gamma_{0} \equiv \frac{c}{\sqrt{c^{2}-{v_{0}}^{2}}}=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{{v_{0}}^{2}}{c^{2}}}}$$

そして、$\beta_{0}$を以下のようにしよう。

$$\beta_{0} \equiv \frac{v_{0}}{c}$$

そうすると、ローレンツ因子をもっと簡単に表現できる。

$$\begin{align*} \gamma_{0} &= \frac{1}{\sqrt{1-{\beta_{0}}^{2}}} \\ \frac{-v_{0}}{\sqrt{c^{2}-{v_{0}}^{2}}} &= \frac{-v_{0}}{c}\frac{1}{\sqrt{1-\frac{{v_{0}}^{2}}{c^{2}}}}=-\gamma_{0}\beta_{0} \end{align*}$$ これをローレンツ変換に適用すると以下のようになる。

$$\begin{pmatrix} ct^{\prime} \\ x^{\prime} \\ y^{\prime} \\ z^{\prime} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \gamma_{0} & -\gamma_{0}\beta_{0} & 0 & 0 \\ -\gamma_{0}\beta_{0} & \gamma_{0} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} ct \\ x \\ y \\ z \end{pmatrix}$$

■

説明

ガリレイ変換が説明できない部分が出てきてローレンツ変換を導いたけれども、ガリレイ変換が完全に間違っているわけではない。ローレンツ変換で$v_{0}$が光の速度$c$に比べて無視できるほど小さいなら、すなわち$\frac{v_{0}}{c}=0$の状況であれば、ローレンツ変換はガリレイ変換と同じ形になる。

$$\begin{align*} \begin{pmatrix} t^{\prime} \\ x^{\prime} \\ y^{\prime} \\ z^{\prime} \end{pmatrix}&=\begin{pmatrix} \dfrac{c}{\sqrt{c^{2}-{v_{0}}^{2}}} & -\dfrac{v_{0}}{c\sqrt{c^{2}-{v_{0}}^{2}}} & 0 & 0 \\ \dfrac{-v_{0}c}{\sqrt{c^{2}-{v_{0}}^{2}}} & \dfrac{c}{\sqrt{c^{2}-{v_{0}}^{2}}} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} t \\ x \\ y \\ z \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} \dfrac{1}{\sqrt{1-{(v_{0}/c)}^{2}}} & -\dfrac{v_{0}}{c^{2}}\dfrac{1}{\sqrt{1-{(v_{0}/c)}^{2}}} & 0 & 0 \\ \dfrac{-v_{0}}{\sqrt{1-{(v_{0}/c)}^{2}}} & \dfrac{1}{\sqrt{1-{(v_{0}/c)}^{2}}} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} t \\ x \\ y \\ z \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} \dfrac{1}{\sqrt{1-{0}^{2}}} & -0\dfrac{1}{\sqrt{1-{0}^{2}}} & 0 & 0 \\ \dfrac{-v_{0}}{\sqrt{1-{0}^{2}}} & \dfrac{1}{\sqrt{1-{0}^{2}}} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} t \\ x \\ y \\ z \end{pmatrix} \\ &=\begin{pmatrix} 1& 0 & 0 & 0 \\ -v_{0} & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} t \\ x \\ y \\ z \end{pmatrix} \end{align*}$$