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円周率の定義 📂レンマ

円周率の定義

定義

幾何学的な定義

  1. 平面で与えられた一点から距離r>0r > 0だけ離れた点の集合circleと定義する。
  2. 円の周llと直径2r2rの比を円周率π\piと定義する。 π:=l2r \pi := {{ l } \over { 2r }}

解析学的定義 1

E(z):=k=0zkk! E (z) := \sum_{k=0}^{\infty} {{ z^{k} } \over { k! }} 複素関数E:CCE : \mathbb{C} \to \mathbb{C}を上記のように指数関数級数展開として定義し、それによりコサイン関数に類似した次の関数CCを定義しよう。 C(x):=E(ix)+E(ix)2 C(x) := {{ E (ix) + E(-ix) } \over { 2 }} C(x)C(x)の根、すなわちC(x)=0C(x) = 0を満たす解の中で最も小さい正数をx0x_{0}とするとき、その倍数を円周率π\piと定義する。 π:=2x0 \pi := 2 x_{0}

説明

このポストでは、幾何学的な(簡単な)定義と解析学的な(難しい)定義を紹介したが、大学3年生以上の数学の学生なら、解析学的な定義を見て微笑むことができるだろう。

人類の歴史において、円周率は非常に重要な定数として、遅くとも車輪が発明された時点で、その具体的な値が実用的に使用されるようになった。特に、効率的で精密な近似値としては 227=3.142857π {{ 22 } \over { 7 }} = 3.142857 \cdots \approx \pi といった数値も知られていた。この値は、いわゆるゆとり教育時代ゆとり世代の20世紀末の日本の教育水準をはるかに超えるほど正確であった。(教育をゆったりと行うという名目で円周率を33と教えていた時期だった) 2

ゆとり.jpg

関連項目


  1. Walter Rudin, Principles of Mathmatical Analysis (3rd Edition, 1976): p178~183. ↩︎

  2. https://www.joongang.co.kr/article/2572535 ↩︎