📂位相データ分析

位相数学におけるレトラクト

定義 ^{1 2}

位相空間 $X$ の部分空間 $A \subset X$ が与えられて、恒等関数を $\text{id}$ と表示しよう。

1. 包含 $i : A \to X$ に対して、 $$r \circ i = \text{id}_{A} : A \to A$$ を満たす連続な 全射 関数 $r : X \to A$ が存在する場合、$r$ をレトラクション^retraction、$A$ を $X$ のレトラクト^retractと言う。つまり、$r$ は次を満たす連続全射関数である。 $$r(a) = a \qquad , \forall a \in A$$
2. 下記を満たすレトラクション $r : X \to A$ が存在する場合、$A$ を $X$ のデフォーメーション レトラクト^{deformation Retract}という。 $$i \circ r \simeq \text{id}_{X} : X \to X$$ つまり、$A$ が $X$ のデフォーメーション レトラクトであるとは、下記のようなホモトピー $F : X \times I \to X$ が存在するということである。 $$\begin{align*} F(x,0) =& x & , x \in X \\ F(x,1) \in & A & , x \in X \\ F(a,t) =& a & , a \in A \end{align*}$$

説明

レトラクトは文字通り、全体空間 $X$ をより小さい空間 $A$ に何とか圧縮しながら、元の点 $a \in A$ をそのまま保つ写像である。デフォーメーション レトラクトの定義で注意すべき点は、$i \circ r = \text{id}_{X}$ ではなく、$i \circ r \simeq \text{id}_{X}$ であること、すなわちホモトピー センスで同じであることである。

このようなレトラクトを考えることによって、今では無限に複雑で多様な空間を非常に単純に見ることができるようになる。例えば、厚みがある円 $X$ であれ、厚みがない円 $A$ であれ、考察対象の空間自体の性質に違いがなければ、後者のほうが扱いやすいだろう。

強いデフォーメーション レトラクト

デフォーメーション レトラクトは $A$ に関係なく $i \circ r \simeq \text{id}_{X}$ を満たす $r$ が存在する場合に考慮されるが、相対ホモトピーまで考慮して $$i \circ r \simeq_{\text{rel} A} \text{id}_{X}$$ を満たすレトラクション $r$ が存在する場合、$A \subset X$ を強いデフォーメーション レトラクト^{strong Deformation Retract}と呼ぶ。これは、$A$ で点が固定されることまで求めているので、非常に厳しい条件と見えるかもしれないし、実際にデフォーメーション レトラクトに比べてそれほど重要ではなく扱われることがある。