📂動力学

フィゲンバウムの普遍性

推測

$$ x \mapsto f_{\alpha} (x) \qquad , x \in \mathbb{R}^{1} $$ 上記のように定義されたマップで表される動力学系が$\alpha$を分岐パラメータとする周期倍加分岐を示すとする。$k$番目の周期倍加が起こるパラメータのシーケンスを$\left\{ \alpha_{k} \right\}_{k=1}^{\infty}$と言うとき、これらの間の長さの比はある定数$\mu_{F} \approx 4.6692 \ldots$に収束するだろう¹: $$ \lim_{k \to \infty} {\frac{ \alpha_{k} - \alpha_{k-1} }{ \alpha_{k+1} - \alpha_{k} }} = \mu_{F} $$

説明

ファイゲンバウムの推測^{Feigenbaum conjectures}とは、ロジスティックファミリーのみならず上述の条件下において起こる周期倍加がそのシステムが何であれ普遍的に登場する比率を持って起こるということで、1978年にファイゲンバウムによって報告された²。

例えば、ロジスティックマップとエノンマップ^{Hénon map}は異なるシステムだが次のように周期倍加の周期が同じ点に収束していることが観察できる³。

結論として、この推測は事実であることが明らかとなり、ファイゲンバウムの普遍性^{Feigenbaum universality}となり、$\mu_{F}$はファイゲンバウム定数^{Feigenbaum constant}と呼ばれるようになった⁴⁵。

表記ではシーケンス$\left\{ \alpha_{k} \right\}_{k=1}^{\infty}$は極限$\alpha_{\infty}$を持ち、これはシステムがカオス的であることを意味する。