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ホモロジーグループのベッチ数 📂位相データ分析

ホモロジーグループのベッチ数

概要

代数位相algebraic Topologyにおいて、幾何学的な意味を考えずに単に定義だけを述べると、ベッチ数betti numberとは、単にチェインコンプレックスでのホモロジーグループのランクに過ぎない。問題は、このような説明がベッチ数の意味を知りたい人にとって全く役に立たず、その具体的な計算も難解であり、例を通して学ぶことも困難であることである。

この投稿では、少なくとも2つ目の質問に対する答え―ベッチ数をどのように計算するかについての整理とその詳細な証明を紹介する。以下に紹介される定理によれば、与えられたチェインコンプレックスに従ってある行列を見つけることができ、それに関する一連の計算プロセスを通じて、以下のような明示的explicitな公式を導出することができる。 $$ \beta_{p} = \rank ?_{1} - \rank ?_{2} $$

本来、数学的な内容は数学を使わずに伝えられることが最も良い説明であるが、ベッチ数の場合は、その公式の導出過程の中でその根本的な原理を理解することができると考えられる。学部生程度では証明の難易度がかなり高く、追いかけるのが難しいかもしれないが、できるだけ省略せずに詳細に書いたので、少なくとも一度は試みることをお勧めする。

定理

ホモロジーグループの定義:

  1. $n \in \mathbb{N}_{0}$ とする。アーベル群 $C_{n}$ と ホモモルフィズム $\partial_{n} : C_{n} \longrightarrow C_{n-1}$ のチェイン $$ \cdots \longrightarrow C_{n+1} \overset{\partial_{n+1}}{\longrightarrow} C_{n} \overset{\partial_{n}}{\longrightarrow} C_{n-1} \longrightarrow \cdots \longrightarrow C_{1} \overset{\partial_{1}}{\longrightarrow} C_{0} \overset{\partial_{0}}{\longrightarrow} 0 $$ これがすべての $n$ に対して $$ \partial_{n} \circ \partial_{n+1} = 0 $$ を満たす場合、$\mathcal{C} := \left\{ \left( C_{n}, \partial_{n} \right) \right\}_{n=0}^{\infty}$ をチェインコンプレックスchain Complexという。
  2. 商群 $H_{n} := \ker \partial_{n} / \operatorname{Im} \partial_{n+1}$ を $\mathcal{C}$ の**$n$番目のホモロジーグループ**$n$-th Homology groupという。
  3. ホモモルフィズム $\partial_{n} : C_{n} \longrightarrow C_{n-1}$ を境界boundaryまたは微分differentialオペレーターという。
  4. $Z_{n} := \ker \partial_{n}$ の要素を**$n$-サイクル**cycles、$B_{n} := \operatorname{Im} \partial_{n+1}$ の要素を**$n$-境界**boundaryという。

フリーチェインコンプレックスの標準基底分解

チェインコンプレックス $\mathcal{C} := \left\{ \left( C_{p}, \partial_{p} \right) \right\}$ のすべての $C_{p}$ が有限ランクのフリーグループであるとする。するとすべての $p$ と $Z_{p} := \ker \partial_{p}$ に対して、次を満たす部分群 $U_{p}, V_{p}, W_{p} \subset C_{p}$ と が存在する。 $$ \begin{align*} C_{p} =& U_{p} \oplus V_{p} \oplus W_{p} \\ =& U_{p} \oplus Z_{p} \end{align*} $$ $$ \begin{align*} \partial_{p} \left( U_{p} \right) \subset & W_{p} \\ Z_{p} =& V_{p} \oplus W_{p} \end{align*} $$ もちろん、$Z_{p}$ は $\partial_{p}$ の核であるため、$\partial_{p} \left( V_{p} \right) = 0$ であり、$\partial_{p} \left( W_{p} \right) = 0$ である。さらに、$U_{p}$ での $\partial_{p}$ の制限関数 ${\partial_{p}}_{| U_{p}} : U_{p} \to W_{p-1}$ は、次のような形のスミス標準形を持つ。 $$ \begin{bmatrix} b_{1} & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & b_{l} \end{bmatrix} $$ ここで、$b_{i} \in \mathbb{N}$ であり、$b_{1} \mid \cdots \mid b_{l}$ である。

ホモロジーグループの効率的な計算可能性 1

$H_{p} \left( \mathcal{C} \right)$ のベッチ数を$\mathcal{C}$ の$p$番目のベッチ数betti numberという。有限コンプレックス$K$ の$\beta_{p}$ は次のようである。 $$ \beta_{p} = \rank Z_{p} - \rank B_{p} $$ その具体的な値は、次のように$\partial_{p}$ のスミス標準形によって計算することができる。図では、青い点線が$1$ の対角成分を、オレンジの実線が$1$ でない対角成分を示し、その他のすべての成分は$0$ である。2

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ここで重要なのは、スミス標準形における$1$ の数$\rank B_{p-1}$ と、ゼロベクトルの列の数$\rank Z_{p}$ である。

証明 3

Part 1. $B_{p} \subset W_{p} \subset Z_{p} \subset C_{p}$

$$ \begin{align*} Z_{p} :=& \ker \partial_{p} \\ B_{p} :=& \operatorname{Im} \partial_{p+1} \\ W_{p} :=& \left\{ c_{p} \in C_{p} : \lambda c_{p} \in B_{p} , \forall m \ne 0 \right\} \end{align*} $$ と置く。特に、$W_{p}$ は$C_{p}$ の部分群となり、$\lambda = 1$ のみを考えた場合に$B_{p} = W_{p}$ であるという点で、境界boundary$B_{p}$ の条件を弱めたものと見なすことができるため、弱い境界weak Boundariesと呼ばれる。

  • $W_{p}$ の定義から、$\lambda \ne 1$ を考えると $$ B_{p} \subset W_{p} $$
  • $Z_{p}$ の定義から、$\forall z_{p} \in Z_{p}$ は$\partial_{p} z_{p} = 0$ であり、$Z_{p} = \ker \partial_{p}$ は$\partial_{p} : C_{p} \to C_{p-1}$ であるため $$ Z_{p} \subset C_{p} $$
  • $C_{p}$ はフリーグループと仮定されているため、トーションフリー、すなわち$\forall z_{p} \in Z_{p} \subset C_{p}$ に対して$\lambda z_{p} = 0$ を満たす$\lambda \ne 0$ が存在しない。一方、すべての$c_{p+1} \in C_{p+1}$ に対して $$ \partial_{p+1} c_{p+1} = \lambda z_{p} \in W_{p} $$ の両辺に$\partial_{p}$ を適用すると $$ 0 = \partial_{p} \partial_{p+1} c_{p+1} = \partial_{p} \lambda z_{p} = \lambda \partial_{p} z_{p} $$ であるため、$\partial_{p} z_{p} = 0$ でなければならない。これは、$\lambda z_{p} \in W_{p}$ ならば$\lambda z_{p} \in Z_{p}$ であることを意味するため $$ W_{p} \subset Z_{p} $$

このような考察から、次の包含関係を得る。 $$ B_{p} \subset W_{p} \subset Z_{p} \subset C_{p} $$

Part 2. $W_{p} \subset Z_{p}$ は$Z_{p}$ の直和群direct Summandである

  • $p$番目のホモロジーグループ$H_{p} \left( \mathcal{C} \right) = Z_{p} / B_{p}$ の定義から $$ \text{proj}_{1} : Z_{p} \to H_{p} \left( \mathcal{C} \right) $$ は剰余類$B_{p}$ に相当するだけのランクが下がった射影であり
  • $H_{p} \left( \mathcal{C} \right)$ のトーション部分群$T_{p} \left( \mathcal{C} \right) \subset H_{p} \left( \mathcal{C} \right)$ に対して $$ \text{proj}_{2} : H_{p} \left( \mathcal{C} \right) \to H_{p} \left( \mathcal{C} \right) / T_{p} \left( \mathcal{C} \right) $$ も射影である。

第1同型定理: 準同型写像$\phi : G \to G'$ が存在する場合 $$G / \ker ( \phi ) \simeq \phi (G)$$

これにより、$\text{proj} := \text{proj}_{1} \circ \text{proj}_{2}$ として定義された $$ \text{proj} : Z_{p} \to H_{p} \left( \mathcal{C} \right) / T_{p} \left( \mathcal{C} \right) $$ も射影である。$W_{p}$ の要素は$\partial_{p+1} d_{p+1}$ のように表されるため、この射影$\text{proj}$ の核は$W_{p}$ であり、すべての射影は全射surjectionであるため、第1同型定理により $$ Z_{p} / W_{p} \simeq H_{p} / T_{p} $$ が成立する。ここで、右辺の$H_{p}$ がどのようになっているかにかかわらず、トーション部分群$T_{p}$ で取り除いたため、トーションフリーであり、これにより、左辺の$Z_{p} / W_{p}$ もトーションフリーであることが保証される。したがって、$\alpha_{1} , \cdots , \alpha_{k}$ が$Z_{p} / W_{p}$ の基底であり、$\alpha'_{1} , \cdots , \alpha'_{l} \in W_{p}$ が$W_{p}$ の基底であるとした場合、$\alpha_{1} , \cdots , \alpha_{k}, \alpha'_{1} , \cdots , \alpha'_{l}$ は$Z_{p}$ の基底となる。したがって、$Z_{p}$ は $$ Z_{p} = V_{p} \oplus W_{p} $$ のように、$\alpha_{1} , \cdots , \alpha_{k}$ を基底とする部分群$V_{p}$ と$W_{p}$ の直和として表現できる。

Part 3. $Z_{p}, B_{p-1}, W_{p-1}$ の基底

ホモモルフィズムのスミス標準形: フリーアーベル群$G$ と$G'$ のランクがそれぞれ$n,m$ であり、$f : G \to G'$ がホモモルフィズムである場合、次のような行列を持つホモモルフィズム$g$ が存在する。 $$ \begin{bmatrix} d_{1} & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \ddots & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & d_{r} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \end{bmatrix} \in \mathbb{Z}^{m \times n} $$ ここで、$d_{1} , \cdots, d_{r} \in \mathbb{N}$ であり、$d_{1} \mid \cdots \mid d_{r}$、つまり$d_{k}$ は$d_{k+1}$ の約数divisorである必要がある。

$\partial_{p} : C_{p} \to C_{p-1}$ は、次のようなスミス標準形の$m \times n$ 行列を持つ。

$$ \begin{matrix} & \begin{matrix} e_{1} & \cdots & e_{l} & e_{l} & \cdots & e_{n} \end{matrix} \\ \begin{matrix} e'_{1} \\ \vdots \\ e'_{l} \\ e'_{l} \\ \vdots \\ e'_{m} \end{matrix} & \begin{bmatrix} d_{1} & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \ddots & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & d_{r} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \end{bmatrix} \end{matrix} $$

これにより、我々は直接的な計算を通じて次の3つを示すことになる:

  • (1): $e_{l+1} , \cdots , e_{n}$ は$Z_{p}$ の基底である。
  • (2): $b_{1} e'_{1} , \cdots , b_{l} e'_{l}$ は$B_{p-1}$ の基底である。
  • (3): $e'_{1} , \cdots , e'_{l}$ は$W_{p-1}$ の基底である。

補題

  • $\partial_{p}$ の定義により、一般的な$c_{p} \in C_{p}$ に対して次が成立する。 $$ c_{p} = \sum_{i=1}^{n} a_{i} e_{i} \implies \partial_{p} c_{p} = \sum_{i=1}^{l} a_{i} b_{i} e'_{i} $$
  • (1): $b_{i} \ne 0$ であるため、$Z_{p} = \ker \partial_{p}$ である必要十分条件は、$i = 1 \cdots , l$ に対して$a_{i} = 0$ であることである。したがって、$e_{l+1} , \cdots , e_{n}$ は$Z_{p}$ の基底である。
  • (2): すべての$\partial_{p} c_{p} \in B_{p-1}$ は$b_{1} e'_{1} , \cdots , b_{l} e'_{l}$ の線形結合として表現され、$b_{i} \ne 0$ であるため、$b_{1} e'_{1} , \cdots , b_{l} e'_{l}$ は$B_{p-1}$ の基底である。
  • (3): $b_{i} e'_{i} = \partial e_{i}$ であるため、まず$e'_{1}, \cdots, e'_{l} \in W_{p-1}$ である。逆に、$c_{p-1} \in C_{p-1}$ を $$ c_{p-1} = \sum_{i=1}^{m} d_{i} e'_{i} $$ と置き、$c_{p-1} \in W_{p-1}$ と仮定すると、$W_{p-1}$ が$W_{p-1} = \left\{ c_{p} \in C_{p} : \lambda c_{p} \in B_{p} , \forall m \ne 0 \right\}$ のように定義されていたため、$c_{p-1}$ はある$\lambda \ne 0$ に対して $$ \lambda c_{p-1} = \partial c_{p} = \sum_{i=1}^{l} a_{i} b_{i} e'_{i} $$ の形で表現できる。係数を比較すると、$i > l$ に対して $$ \lambda d_{i} = 0 \implies d_{i} = 0 $$ を得る。したがって、$e'_{1} , \cdots , e'_{l}$ は$W_{p-1}$ の基底である。

Part 4. ‘フリーチェインコンプレックスの標準基底分解’の証明

$C_{p}$ と$C_{p-1}$ に対して、これまでの議論で登場する$e_{1} , \cdots , e_{l}$ によって生成されるフリーグループを$U_{p}$ とすると、$Z_{p} = V_{p} \oplus W_{p}$ であるため、$\partial V_{p} = \partial W_{p} = 0$ であり $$ \begin{align*} C_{p} =& U_{p} \oplus Z_{p} \\ =& U_{p} \oplus \left( V_{p} \oplus W_{p} \right) \end{align*} $$ を得る。ここで、$W_{p}$ と$Z_{p}$ は$C_{p}$ により一意であるが、$U_{p}$ と$V_{p}$ は必ずしも一意である必要はないことに注意されたい。

Part 5. ‘ホモロジーグループの効率的な計算可能性’の証明

Part 4により、コンプレックス$K$ に対して、次の分解が存在することが保証される。 $$ \begin{align*} C_{p} \left( K \right) =& U_{p} \oplus V_{p} \oplus W_{p} \\ Z_{p} =& V_{p} \oplus W_{p} \end{align*} $$

直和の性質: $G = G_{1} \oplus G_{2}$ としよう。もし$H_{1}$ が$G_{1}$ の部分群であり、$H_{2}$ が$G_{2}$ の部分群である場合、$H_{1}$ と$H_{2}$ も直和として表現でき、特に次が成立する。 $${{ G } \over { H_{1} \oplus H_{2} }} \simeq {{ G_{1} } \over { H_{1} }} \oplus {{ G_{2} } \over { H_{2} }}$$

  • [1]: $H_{1} \simeq G_{1}$ であり、$H_{2} \simeq \left\{ 0 \right\}$ とすると $$ G / G_{1} \simeq G_{2} $$
  • [2]: $H_{1} \simeq \left\{ 0 \right\}$ とすると $$ {{ G } \over { H_{2} }} \simeq G_{1} \oplus {{ G_{2} } \over { H_{2} }}$$

Part 1で$B_{p} \subset W_{p} \subset Z_{p} \subset C_{p}$ であったため、直和の性質により $$ \begin{align*} H_{p} \left( K \right) =& Z_{p} / B_{p} \\ =& \left( {{ V_{p} \oplus W_{p} } \over { B_{p} }} \right) \\ =& V_{p} \oplus \left( {{ W_{p} } \over { B_{p} }} \right) & \because [2] \\ =& \left( {{ Z_{p} } \over { W_{p} }} \right) \oplus \left( {{ W_{p} } \over { B_{p} }} \right) & \because [1] \end{align*} $$ を得る。ここで、$H_{p} \left( K \right) = \left( Z_{p} / W_{p} \right) \oplus \left( W_{p} / B_{p} \right)$ の

これにより、$K$ の$p$番目のベッチ数$\beta_{p}$ は、次のように求められる。 $$ \begin{align*} \beta_{p} =& \rank H_{p} \left( K \right) \\ =& \rank \left[ \left( Z_{p} / W_{p} \right) \oplus \left( W_{p} / B_{p} \right) \right] \\ =& \rank \left( Z_{p} / W_{p} \right) + \rank \left( W_{p} / B_{p} \right) \\ =& \left[ \rank Z_{p} - \rank W_{p} \right] + \left[ \rank W_{p} - \rank B_{p} \right] \\ =& \rank Z_{p} - \rank B_{p} \end{align*} $$

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一方、$H_{p-1}(K)$ のトーションパートと$b_{1} | \cdots | b_{l} \in \mathbb{N}$ に対しては、次のようなアイソモルフィズムが存在することが分かる。 $$ W_{p-1} / B_{p-1} \simeq \left( {{ \mathbb{Z} } \over { b_{1} \mathbb{Z} }} \right) \oplus \cdots \oplus \left( {{ \mathbb{Z} } \over { b_{l} \mathbb{Z} }} \right) $$ ここで、$i \le l$ に対して$b_{i} = 1$ であること、つまり$B_{p-1}$ のランクが$l$ であることは $$ \mathbb{Z} / b_{i} \mathbb{Z} = \mathbb{Z} / \mathbb{Z} = \left\{ 0 \right\} $$ であるため、$W_{p-1}$ のランクが$l$ 分だけ減少することを覚えておく。

■

例

トーラス

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$$ \begin{align*} \beta_{0} =& 1 \\ \beta_{1} =& 2 \\ \beta_{2} =& 1 \end{align*} $$

トーラスのベッチ数は上記のように知られている。このトーラスのチェインコンプレックスが上の図のように定義されている場合、例として$\beta_{1} = 2$ のみを計算してみよう。上で導出された公式を使用せずに単に数学的に考えて計算する方法もあるが、読めば分かる通り、頭が痛くなるほど難しい。これと対照的に、「ホモロジーを効率的に計算する」ということがどれほど便利かを見てみよう。

ホモモルフィズムのスミス標準形: フリーアーベルグループ$G$ と$G'$ に対して、$a_{1} , \cdots , a_{n}$ が$G$ の基底であり、$a_{1}' , \cdots , a_{m}'$ が$G'$ の基底であるとする。もし関数$f : G \to G'$ がホモモルフィズムであれば、次を満たす唯一の整数の集合$\left\{ \lambda_{ij} \right\} \subset \mathbb{Z}$ が存在する。 $$ f \left( a_{j} \right) = \sum_{i=1}^{m} \lambda_{ij} a_{i}' $$ この時行列$\left( \lambda_{ij} \right) \in \mathbb{Z}^{m \times n}$ を($G$ と$G'$ の基底に関する)$f$ の行列という。

$\beta_{1} = \rank Z_{1} - \rank B_{1}$ であるため、少なくとも境界行列$\left( \partial_{1} \right)$ と$\left( \partial_{2} \right)$ を求める必要がある。すべての$a , b, c \in C_{1} (T)$ に対して $$ \begin{align*} \partial_{1} (a) =& v - v = 0 = 0v \\ \partial_{1} (b) =& v - v = 0 = 0v \\ \partial_{1} (c) =& v - v = 0 = 0v \end{align*} $$ であるため $$ \left( \partial_{1} \right) = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \implies Z_{1} = 3 , B_{0} = 0 $$ を得る。$Z_{p}$ は行列の右側のゼロベクターの数であり、$B_{p-1}$ は行列内の$1$ の数である。次に、$\partial_{2}$ を考えると $$ \begin{align*} \partial_{2} (U) =& -a -b +c \\ \partial_{2} (L) =& a + b - c \end{align*} $$ であるため $$ \left( \partial_{2} \right) = \begin{bmatrix} -1 & 1 \\ -1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \implies Z_{2} = 1 , B_{1} = 1 $$ を得る。これを総合すると、トーラスの$1$番目のベッチ数$\beta_{1}$ は、次のように計算される。 $$ \beta_{1} = \rank Z_{1} - \rank B_{1} = 3 - 1 = 2 $$ 当然ながら、この結果は、この投稿に紹介された定理に従って、フリーグループがどうであり、アイソモルフィズムがどうであるかといった、あらゆる数学的知識を駆使して得た値と一致することが保証されている。少し大胆に言えば、頭を使わずに指示された通りに計算すれば、ベッチ数、つまり「ホモロジー」を「計算」することができると要約できるだろう。もう少し良い言い方をすると、コンピュータを通じて位相数学を研究する道が開かれたということだ。

  1. Munkres. (1984). Elements of Algebraic Topology: p58. ↩︎

  2. Edelsbrunner, Harer. (2010). Computational Topology An Introduction: p104. ↩︎

  3. Munkres. (1984). Elements of Algebraic Topology: p58~61. ↩︎