📂数理統計学

確率的増減関数と信頼区間

定理 ¹

確率的単調関数の定義

累積分布関数$F \left( t ; \theta \right)$が$\theta$に対して増加（減少）関数ならば確率的増加（減少）関数という。

連続累積分布関数のピボティング

統計量$T$が連続累積分布関数$F_{T} \left( t ; \theta \right)$を有するとする。固定された$\alpha \in (0,1)$に対して$\alpha_{1} + \alpha_{2} = \alpha$とし、$T$のサポート$\mathcal{T}$の全ての$t \in \mathcal{T}$に対して、$\theta_{L} (t)$と$\theta_{U} (t)$が

• (1): もし$F_{T} \left( t ; \theta \right)$が確率的減少関数ならば、 $$F_{T} \left( t ; \theta_{U}(t) \right) = \alpha_{1} \quad \& \quad F_{T} \left( t ; \theta_{L}(t) \right) = 1 - \alpha_{2}$$
• (2): もし$F_{T} \left( t ; \theta \right)$が確率的増加関数ならば、 $$F_{T} \left( t ; \theta_{U}(t) \right) = 1 - \alpha_{2} \quad \& \quad F_{T} \left( t ; \theta_{L}(t) \right) = \alpha_{1}$$

と定義されるとする。そうであればランダムインターバル$\left[ \theta_{L} (t) , \theta_{U} (t) \right]$は$\theta$に対する$1 - \alpha$信頼区間である。

説明

たとえば、$T \sim \exp (\theta)$、すなわち指数分布に従うとすると、その累積分布関数$F (t; \theta) = 1 - e^{t / \theta}$は全ての$t$に対して$\theta$が増加するに従って関数の値が小さくなるため、確率的減少関数であり、定理の条件(1)を満たし、簡単に$1-\alpha$信頼区間を得ることができる。

定理の名前に出てくるピボティングはピボットから来た言葉である。

証明

(1)の場合のみ証明する。離散累積分布の場合に完全に同一ではないが、類似の定理がある²。

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$$\left\{ t : \alpha_{1} \le F_{T} \left( t ; \theta_{0} \right) \le 1 - \alpha_{2} \right\}$$ $1-\alpha$受入域が上記のように作られたとする。$F_{T}$が確率的減少関数であり、$\alpha < 1$の定義から$1 - \alpha_{2} > \alpha_{1}$であるため、$\theta_{L}(t) < \theta_{U}(t)$が成立し、その関数値はユニークである。さらに、 $$\begin{align*} F_{T} \left( t ; \theta \right) < \alpha_{1} \iff& \theta > \theta_{U}(t) \\ F_{T} \left( t ; \theta \right) > 1 - \alpha_{2} \iff& \theta < \theta_{L}(t) \end{align*}$$ したがって、次のことが得られる。 $$\left\{ t : \alpha_{1} \le F_{T} \left( t ; \theta_{0} \right) \le 1 - \alpha_{2} \right\} = \left\{ \theta : \theta_{L}(t) \le \theta \le \theta_{U}(t) \right\}$$

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