ホモロジー群の定義
定義 1 2
- $n \in \mathbb{N}_{0}$ とする。アーベル群 $C_{n}$ とホモモルフィズム $\partial_{n} : C_{n} \longrightarrow C_{n-1}$ のチェーン $$ \cdots \longrightarrow C_{n+1} \overset{\partial_{n+1}}{\longrightarrow} C_{n} \overset{\partial_{n}}{\longrightarrow} C_{n-1} \longrightarrow \cdots \longrightarrow C_{1} \overset{\partial_{1}}{\longrightarrow} C_{0} \overset{\partial_{0}}{\longrightarrow} 0 $$ が全ての $n$ に対して $$ \partial_{n} \circ \partial_{n+1} = 0 $$ を満たす場合、チェインコンプレックスchain Complexと呼ぶ。
- 剰余群 $H_{n} := \ker \partial_{n} / \operatorname{Im} \partial_{n+1}$ を $\mathcal{C}$ の**$n$番目のホモロジーグループ**$n$-th Homology groupと呼ぶ。
- ホモモルフィズム $\partial_{n} : C_{n} \longrightarrow C_{n-1}$ を境界boundaryまたは微分differentialオペレーターと呼ぶ。
- $Z_{n} := \ker \partial_{n}$ の要素を**$n$-サイクル**cycles、$B_{n} := \operatorname{Im} \partial_{n+1}$ の要素を**$n$-バウンダリー**boundaryと呼ぶ。
- 群 $0$ は $\left\{ 0 \right\}$ で定義されたマグマだ。つまり、空の代数構造だ。
- ホモモルフィズム $\partial^{2} = 0$ はゼロモルフィズムだ。
- $\operatorname{Im}$ は像だ。
- $\ker$ は核だ。
説明
難しいと感じるのは当然だ。紹介された定義は非常に厳格な代数的ステートメントのみを含んでいるため、直感的な理解を得るためにはすぐに単体複体ホモロジーへ移行することをお勧めする。（それも容易ではないが）境界や微分という用語を幾何学的に見なければ、代数的な表現だけで受け入れるのは難しい。
一般化の可能性
実際、チェインコンプレックスにおけるインデックス集合は$\mathbb{N}_{0} = \left\{ 0, 1, 2, \cdots \right\}$以外にも負の数への拡張はもとより、実数に対しても一般化できるとされているが、$0$を基準に負へと行くと、トポロジーや幾何学的な意味は大きく薄れる。
ホモロジーグループの存在性
$U, V, W$がベクトル空間、$T_{1} : U \to V$、$T_{2} : V \to W$が線形変換とする。すると次が成り立つ。
$$ T_{2}T_{1} = 0 \iff \operatorname{Im} (T_{1}) \subset \ker (T_{2}) $$
チェインコンプレックスの条件$\partial_{n} \circ \partial_{n+1} = 0$は、通常$\partial^{2} = 0$と略されることがよくある。$\operatorname{Im} \partial_{n+1}$が何であれ$\partial_{n}$を取れば$0$に行くということは、つまり$\ker \partial_{n}$が$\operatorname{Im} \partial_{n+1}$を完全に包含できるほど十分に大きいという意味、言い換えれば$\operatorname{Im} \partial_{n+1} \subset \ker \partial_{n}$である。
$\partial^{2} = 0$から$\ker \partial_{n} / \operatorname{Im} \partial_{n+1}$が出てくるのは突然かもしれないが、歴史的に見れば、$\ker f / \operatorname{Im} g$のように核を像に分割する代数構造について多くの研究があり、$\partial^{2} = 0$はその直感的な意味よりも、洗練された表現のために定義に含まれたと考えるのが適切だ。
境界と微分
$n$-サイクル $Z_{n}$ の「Zyklus」はドイツ語からきている。
$\partial_{n}$は単体の境界として見ると、その命名が自然であり、微分と呼ばれることも $$ \lim_{h \to 0} {{ f(x + h) - f(x) } \over { h }} $$ において $$ \partial \left[ v_{0} , v_{1} \right] = \left[ v_{1} \right] - \left[ v_{0} \right] $$ と定義されるように、差分differenceから数式的な形で直感的に理解できる。しかし、ホモロジーグループの単純な定義だけでは理解はできない。これらの説明は、$\partial_{n}$の具体的な定義が与えられ、その普遍的な使用法が理解された後にしか妥当しない。今はその名前自体に固執せずに進もう。
悪評
ホモロジーは意外にも一般大衆にかなり知られている概念だ。彼らがホモロジーという単語を覚えているわけではないが、Twitterで話題となり、ソウル大学生でさえも簡単に説明できない難しい何かとして広く知られている。