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距離空間がコンパクトであることと、完備かつ完全有界であることの同値性 📂位相幾何学

距離空間がコンパクトであることと、完備かつ完全有界であることの同値性

定理 1

距離空間コンパクトであることと、完備でかつ完全有界であることは同値である。

証明

()(\Rightarrow)

距離空間 XX がコンパクトだとしよう。

完備距離空間の性質: (X,d)(X,d)距離空間で、KXK \subset Xとする。

  • XXX \subset XXXで閉集合だから、完備空間である。
  • 閉集合XXX \subset Xがコンパクトだから、完全有界である。

()(\Leftarrow)

距離空間 XXが完備性を持つ完全有界空間だとしよう。

点列コンパクト: KXK \subset Xがプリコンパクト(点列コンパクト)であることは、KKで定義されたすべての数列{xn}K\left\{ x_{n} \right\} \subset Kについて、xXx \in Xに収束する部分数列{xn}{xn}\left\{ x_{n '} \right\} \subset \left\{ x_{n} \right\}が存在することを意味する。

XXX \subset Xがシーケンシャルリコンパクト、すなわち、プリコンパクトであることを証明すると、X=X\overline{X} = Xとなり、XXがコンパクトであることを証明するのと同じである。XXがシーケンシャルリコンパクトであることを証明しよう。


パート1.

XXは完全有界空間であるから、いかなるε>0\varepsilon > 0XXを半径ε\varepsilonの有限個の球でカバーできる。

XXで定義された任意の列{xn}nNX\left\{ x_{n} \right\}_{n \in \mathbb{N}} \subset Xを考えると、XXをカバーする有限個の球の少なくとも1つは{xn}nN\left\{ x_{n} \right\}_{n \in \mathbb{N}}の無限に多くの点を含まなければならない。


パート2. J1NJ_{1} \subset \mathbb{N}

半径ε=1\varepsilon = 1が与えられたとき、XXの有限カバーの少なくとも1つの球は{xn}nN\left\{ x_{n} \right\}_{n \in \mathbb{N}}の無限に多くの点を含む。この球をB1B_{1}と呼び、そこに含まれるxnx_{n}のインデックスの集合J1J_{1}を選ぼう。数式で表すと次のようになる。 J1:={nN:xnB1} J_{1} := \left\{ n \in \mathbb{N} : x_{n} \in B_{1} \right\}


パート3. JkNJ_{k} \subset \mathbb{N}

B1B_{1}J1J_{1}を選んだ方法で、ε=1k\varepsilon = {{ 1 } \over { k }}に対してBkB_{k}JkJ_{k}を選ぼう。JkJ_{k}を定義する方法がJ1J_{1}と同じであるから、これらはすべて無限集合であり、{xn}nN\left\{ x_{n} \right\}_{n \in \mathbb{N}}が収束するところでε=1k\varepsilon = {{ 1 } \over { k }}を縮めなければならないから、次のことが成り立つ。 J1J2 J_{1} \supset J_{2} \supset \cdots


パート4.

n1J1n_{1} \in J_{1}を1つ選び、各Jk+1J_{k+1}についてnk+1>nkn_{k+1} > n_{k}が成り立つようにnk+1Jk+1n_{k+1} \in J_{k+1}を選ぼう。このような選択の可能性はパート3によって正当化される。したがって、すべてのi,jki,j \ge kに対して、xnix_{n_{i}}xnjx_{n_{j}}は半径が1/k1/kBkB_{k}に属することになる。つまり、{xk}kN\left\{ x_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}}のサブシーケンス{xnk}kN\left\{ x_{n_{k}} \right\}_{k \in \mathbb{N}}はコーシーシーケンスとなり、XXは完備性を持つと仮定されているので、このコーシーシーケンスはxXx \in Xに収束しなければならない。従って、XXX \subseteq Xはシーケンシャルリコンパクトであり、コンパクトである。


  1. Munkres. (2000). Topology(2nd Edition): p276. ↩︎