距離空間がコンパクトであることと、完備かつ完全有界であることの同値性
📂位相幾何学距離空間がコンパクトであることと、完備かつ完全有界であることの同値性
定理
距離空間がコンパクトであることと、完備でかつ完全有界であることは同値である。
証明
(⇒)
距離空間 X がコンパクトだとしよう。
完備距離空間の性質: (X,d)が距離空間で、K⊂Xとする。
- [1]: Kは完備部分空間である。⟺ XでKは閉集合である。
- [2]: Kは完全有界空間 ⟺ Xで閉集合Kはコンパクトである。
- X⊂XはXで閉集合だから、完備空間である。
- 閉集合X⊂Xがコンパクトだから、完全有界である。
(⇐)
距離空間 Xが完備性を持つ完全有界空間だとしよう。
点列コンパクト:
K⊂Xがプリコンパクト(点列コンパクト)であることは、Kで定義されたすべての数列{xn}⊂Kについて、x∈Xに収束する部分数列{xn′}⊂{xn}が存在することを意味する。
X⊂Xがシーケンシャルリコンパクト、すなわち、プリコンパクトであることを証明すると、X=Xとなり、Xがコンパクトであることを証明するのと同じである。Xがシーケンシャルリコンパクトであることを証明しよう。
パート1.
Xは完全有界空間であるから、いかなるε>0もXを半径εの有限個の球でカバーできる。
Xで定義された任意の列{xn}n∈N⊂Xを考えると、Xをカバーする有限個の球の少なくとも1つは{xn}n∈Nの無限に多くの点を含まなければならない。
パート2. J1⊂N
半径ε=1が与えられたとき、Xの有限カバーの少なくとも1つの球は{xn}n∈Nの無限に多くの点を含む。この球をB1と呼び、そこに含まれるxnのインデックスの集合J1を選ぼう。数式で表すと次のようになる。
J1:={n∈N:xn∈B1}
パート3. Jk⊂N
B1とJ1を選んだ方法で、ε=k1に対してBkとJkを選ぼう。Jkを定義する方法がJ1と同じであるから、これらはすべて無限集合であり、{xn}n∈Nが収束するところでε=k1を縮めなければならないから、次のことが成り立つ。
J1⊃J2⊃⋯
パート4.
n1∈J1を1つ選び、各Jk+1についてnk+1>nkが成り立つようにnk+1∈Jk+1を選ぼう。このような選択の可能性はパート3によって正当化される。したがって、すべてのi,j≥kに対して、xniとxnjは半径が1/kのBkに属することになる。つまり、{xk}k∈Nのサブシーケンス{xnk}k∈Nはコーシーシーケンスとなり、Xは完備性を持つと仮定されているので、このコーシーシーケンスはx∈Xに収束しなければならない。従って、X⊆Xはシーケンシャルリコンパクトであり、コンパクトである。
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