距離空間がコンパクトであることと、完備かつ完全有界であることの同値性
定理 1
距離空間がコンパクトであることと、完備でかつ完全有界であることは同値である。
証明
$(\Rightarrow)$
距離空間 $X$ がコンパクトだとしよう。
- $X \subset X$は$X$で閉集合だから、完備空間である。
- 閉集合$X \subset X$がコンパクトだから、完全有界である。
$(\Leftarrow)$
距離空間 $X$が完備性を持つ完全有界空間だとしよう。
点列コンパクト: $K \subset X$がプリコンパクト（点列コンパクト）であることは、$K$で定義されたすべての数列$\left\{ x_{n} \right\} \subset K$について、$x \in X$に収束する部分数列$\left\{ x_{n '} \right\} \subset \left\{ x_{n} \right\}$が存在することを意味する。
$X \subset X$がシーケンシャルリコンパクト、すなわち、プリコンパクトであることを証明すると、$\overline{X} = X$となり、$X$がコンパクトであることを証明するのと同じである。$X$がシーケンシャルリコンパクトであることを証明しよう。
パート1.
$X$は完全有界空間であるから、いかなる$\varepsilon > 0$も$X$を半径$\varepsilon$の有限個の球でカバーできる。
$X$で定義された任意の列$\left\{ x_{n} \right\}_{n \in \mathbb{N}} \subset X$を考えると、$X$をカバーする有限個の球の少なくとも1つは$\left\{ x_{n} \right\}_{n \in \mathbb{N}}$の無限に多くの点を含まなければならない。
パート2. $J_{1} \subset \mathbb{N}$
半径$\varepsilon = 1$が与えられたとき、$X$の有限カバーの少なくとも1つの球は$\left\{ x_{n} \right\}_{n \in \mathbb{N}}$の無限に多くの点を含む。この球を$B_{1}$と呼び、そこに含まれる$x_{n}$のインデックスの集合$J_{1}$を選ぼう。数式で表すと次のようになる。 $$ J_{1} := \left\{ n \in \mathbb{N} : x_{n} \in B_{1} \right\} $$
パート3. $J_{k} \subset \mathbb{N}$
$B_{1}$と$J_{1}$を選んだ方法で、$\varepsilon = {{ 1 } \over { k }}$に対して$B_{k}$と$J_{k}$を選ぼう。$J_{k}$を定義する方法が$J_{1}$と同じであるから、これらはすべて無限集合であり、$\left\{ x_{n} \right\}_{n \in \mathbb{N}}$が収束するところで$\varepsilon = {{ 1 } \over { k }}$を縮めなければならないから、次のことが成り立つ。 $$ J_{1} \supset J_{2} \supset \cdots $$
パート4.
$n_{1} \in J_{1}$を1つ選び、各$J_{k+1}$について$n_{k+1} > n_{k}$が成り立つように$n_{k+1} \in J_{k+1}$を選ぼう。このような選択の可能性はパート3によって正当化される。したがって、すべての$i,j \ge k$に対して、$x_{n_{i}}$と$x_{n_{j}}$は半径が$1/k$の$B_{k}$に属することになる。つまり、$\left\{ x_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}}$のサブシーケンス$\left\{ x_{n_{k}} \right\}_{k \in \mathbb{N}}$はコーシーシーケンスとなり、$X$は完備性を持つと仮定されているので、このコーシーシーケンスは$x \in X$に収束しなければならない。従って、$X \subseteq X$はシーケンシャルリコンパクトであり、コンパクトである。
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Munkres. (2000). Topology(2nd Edition): p276. ↩︎