📂レンマ

グロンウォールの不等式の証明

定理

区間 最小値 $a \in \mathbb{R}$ を持つ 区間 $I \subset \mathbb{R}$ で二つの連続関数 $f,w : I \to \mathbb{R}$ が定義されているとする。$w$ が $\forall t \in I$ で $w(t) \ge 0$ であり、ある定数 $C \in \mathbb{R}$ に対して $$f(t) \le C + \int_{a}^{t} w(s) f(s) ds \qquad , \forall t \in I$$ が成り立つとすると、次が成り立つ。 $$f(t) \le C \exp \left( \int_{a}^{t} w(s) ds \right) \qquad , \forall t \in I$$

説明

区間 $I$ が最小値 $a$ を持つということは、$I$ が $a < b$ に関して次のように見えるという意味である。 $$[a,b] \text{ or } [a,b) \text{ or } [a,\infty)$$

証明 ¹

$$\begin{align*} \alpha (t) =& C + \int_{a}^{t} w(s) f(s) ds \\ \beta (t) =& C \exp \left( \int_{a}^{t} w(s) ds \right) \end{align*}$$

二つの関数 $\alpha, \beta$ を上記のように定義し $\displaystyle \gamma (t) := {{ \alpha (t) } \over { \beta (t) }}$ とすると $\gamma (a) = 1$ であり、商の微分法則により $$\begin{align*} & \gamma ' (t) \\ =& {{ \alpha ' (t) \beta (t) - \alpha (t) \beta ' (t) } \over { \left[ \beta (t) \right]^{2} }} \\ =& {{ w(t) f(t) \cdot C \exp \left( \int_{a}^{t} w(s) ds \right) - \left( C + \int_{a}^{t} w(s) f(s) ds \right) \cdot w (t) C \exp \left( \int_{a}^{t} w(s) ds \right) } \over { \left( C \exp \left( \int_{a}^{t} w(s) ds \right) \right)^{2} }} \\ =& w(t) {{ f(t) - C - \int_{a}^{t} w(s) f(s) ds } \over { C \exp \left( \int_{a}^{t} w(s) ds \right) }} \end{align*}$$ である。$\displaystyle f(t) \le C + \int_{a}^{t} w(s) f(s) ds$ であり $w(t) \ge 0$ だから $\gamma ' (t) \le 0$ である。したがって、$\gamma (t)$ は増加しない関数であり、$\gamma (t) \le 1$ だから次が成り立つ。 $$\begin{align*} & \gamma (t) = {{ \alpha (t) } \over { \beta (t) }} \le 1 \\ \implies& \alpha (t) \le \beta (t) \\ \implies& C + \int_{a}^{t} w(s) f(s) ds \le C \exp \left( \int_{a}^{t} w(s) ds \right) \\ \implies& f(t) \le C + \int_{a}^{t} w(s) f(s) ds \le C \exp \left( \int_{a}^{t} w(s) ds \right) \\ \implies& f(t) \le C \exp \left( \int_{a}^{t} w(s) ds \right) \end{align*}$$

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