📂確率微分方程式

確率微分方程式とは?

定義 ¹

$$d X(t) = f \left( t, X(t) \right) dt + g \left( t, X(t) \right) d W_{t} \qquad , t \in \left[ t_{0} , T \right], T > 0$$

上記の形式の方程式は、確率微分方程式、略してSDEと呼ばれる。ここで、$f$と$g$はそれぞれドリフト^drift、ディフュージョン^diffusionの係数関数と呼ばれる。初期条件$X_{0} := X \left( t_{0} \right)$に対する積分形は、次のように表される。

$$X(t) = X_{0} + \int_{t_{0}}^{t} f \left( s, X (s) \right) ds + \int_{t_{0}}^{t} g \left( s, X (s) \right) d W_{s}$$

説明

$$d X_{t} = f \left( t, X_{t}\right) dt + g \left( t, X_{t} \right) d W_{t}$$

この形が気にならなければ、伊藤の微積分学をよく勉強しているか、微分方程式をほとんど知らないか、のどちらかだと思う。微分方程式には慣れているがSDEには不慣れな人にとって、自然に$g d W_{t}$が目障りになるべきだ。SDEはODEと異なり、このような確率過程が含まれており、モデルに不確実性を加えている。この項を$0$として考え、つまり$g d W_{t} = 0$の非決定論的システムとして見れば、次のようになる。 $$\begin{align*} d X(t) =& f \left( t, X(t) \right) dt + g \left( t, X(t) \right) d W_{t} \\ =& f \left( t, X(t) \right) dt + 0 \\ =& f \left( t, X(t) \right) dt \end{align*}$$ 両辺を$dt$で割ると $${{ d X (t) } \over { dt }} = f \left( t, X(t) \right)$$ そのため、私たちがよく知る非自律系の様子を取り戻したことを確認できる。

ドリフト

この説明で、時系列解析のドリフトを思い出すと、係数関数$f$をドリフトと呼ぶのはかなり自然である。後ろの項がどうであれ、システム自体をシステムとして扱うことができる原動力は$f dt$だからだ。

ディフュージョン

それでは、$g$を拡散^diffusionと呼ぶことは、その役割や性質が広がること、散らばることを自然に連想させる。確率微分方程式では、これは白色雑音の概念を指し、このようなノイズにより伊藤の公式のような独特の結果が生じる。