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伊藤乗算表 📂確率微分方程式

伊藤乗算表

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s<t<t+us< t < t+u と言うとき、次の条件を満たす確率過程 {Wt}\left\{ W_{t} \right\} をウィーナー過程と呼ぶ。

  • (i): W0=0W_{0} = 0
  • (ii): (Wt+u−Wt)⊥Ws\left( W_{t+u} - W_{t} \right) \perp W_{s}
  • (iii): (Wt+u−Wt)∼N(0,u)\left( W_{t+u} - W_{t} \right) \sim N ( 0, u )
  • (iv): WtW_{t} のサンプルパスはほぼ全ての場所で連続である。

ウィーナー過程は次のような性質を持つ。

  • [1]: Wt∼N(0,t)\displaystyle W_{t} \sim N ( 0 , t )
  • [2]: E(Wt)=0\displaystyle E ( W_{t} ) = 0
  • [3]: Var⁡(Wt)=t\displaystyle \Var ( W_{t} ) = t
  • [4]: cov(Wt,Ws)=12(∣t∣+∣s∣−∣t−s∣)=min⁡{t,s}\displaystyle \text{cov} ( W_{t} , W_{s} ) = {{1} \over {2}} (|t| + |s| - |t-s|) = \min \left\{ t , s \right\}

ウィーナー過程 {Wt}t≥0\left\{ W_{t} \right\}_{t \ge 0} の非常に短い微小区間 [t,t+dt]\left[ t , t + d t \right] を考えてみる。解析的に厳密な仮定ではないが、dt>0dt > 0 は (dt)1/2>0\left( dt \right)^{1/2} > 0 であり、全てのk=2,3,⋯k = 2 , 3, \cdotsに対して (dt)k=0\left( dt \right)^{k} = 0 と扱えるほど小さいとしよう。代数的な用語を借りれば、これらの仮定の下で、我々は α+βdt\alpha + \beta dt を二項係数として扱うのだ。

さて、dWt:=Wt+dt−WtdW_{t} := W_{t + dt} - W_{t} と定義したとき dtdt と dWtd W_{t} の間の積を考えてみよう。

Part 1. (dt)2=0\left( dt \right)^{2} = 0

もちろん dt>0dt > 0 だが、dtdt が非常に小さいため (dt)2=0\left( dt \right)^{2} = 0 としよう。

Part 2. dtdWt=0dt d W_{t} = 0

WtW_{t} はウィーナー過程と仮定したため、正規分布に従い dWt∼N(0,dt2)d W_{t} \sim N \left( 0, \sqrt{dt}^{2} \right) となる。

平均と分散の性質:

  • [2]: E(aX+b)=aE(X)+bE(aX + b) = a E(X) + b
  • [5]: Var⁡(aX+b)=a2Var⁡(X)\Var (aX + b) = a^2 \Var (X)

dtdWtdt d W_{t} の期待値は定数 dtdt が外に出る E(dtdWt)=dtE(dWt)=dt⋅0=0 E \left( dt d W_{t} \right) = dt E \left( d W_{t} \right) = dt \cdot 0 = 0 dtdWtdt d W_{t} の分散も dtdt が二乗を取って外に出るため Var⁡(dtdWt)=(dt)2Var⁡(dWt)=0⋅Var⁡(dWt)=0 \Var \left( dt d W_{t} \right) = (dt)^{2} \Var \left( d W_{t} \right) = 0 \cdot \Var \left( d W_{t} \right) = 0 これによれば dtdWtdt d W_{t} は分散が 00 なので定数であり、期待値が 00 なので正確に dtdWt=dWtdt=0 dt d W_{t} = d W_{t} dt = 0 でなければならない。

Part 3. (dWt)2=dt\left( d W_{t} \right)^{2} = dt

Var⁡(dWt)=dt\Var \left( d W_{t} \right) = dt から dWt⋅dWtd W_{t} \cdot d W_{t} の期待値を求めると dt=Var⁡(dWt)=E((dWt)2)−[E(dWt)]2=E((dWt)2)−02 \begin{align*} dt =& \Var \left( d W_{t} \right) \\ =& E \left( \left( d W_{t} \right)^{2} \right) - \left[ E \left( d W_{t} \right) \right]^{2} \\ =& E \left( \left( d W_{t} \right)^{2} \right) - 0^{2} \end{align*} となるので E((dWt)2)=dtE \left( \left( d W_{t} \right)^{2} \right) = dt だ。

平均が0の正規分布に従う確率変数の累乗の期待値: 確率変数 XX が 正規分布 N(0,σ2)N \left( 0 , \sigma^{2} \right) に従うとき、その累乗 XnX^{n} の期待値は次のように再帰的な公式で表される。 E(Xn)=(n−1)σ2E(Xn−2) E \left( X^{n} \right) = (n - 1) \sigma^{2} E \left( X^{n-2} \right) E(Xn)E \left( X^{n} \right) は nn が奇数のとき 00 であり、偶数のとき次のようになる。 E(X2n)=(2n−1)!!σ2n E \left( X^{2n} \right) = \left( 2n - 1 \right)!! \sigma^{2n} ここでびっくりマークが二つ入っている k!!=k⋅(k−2)⋯k!! = k \cdot \left( k - 2 \right) \cdots はダブル階乗を表す。

dWt∼N(0,dt2)d W_{t} \sim N \left( 0, \sqrt{dt}^{2} \right) と仮定したので dWtd W_{t} は平均が 00 の正規分布に従い、(dWt)2\left( d W_{t} \right)^{2} の分散は確率変数累乗の期待値公式 E(X2n)=(2n−1)!!σ2nE \left( X^{2n} \right) = \left( 2n - 1 \right)!! \sigma^{2n} によって Var⁡((dWt)2)=E([(dWt)2]2)−[E((dWt)2)]2=E((dWt)2⋅2)−[dt]2=(2⋅2−1)dt2⋅2−dt2=3dt2−dt2=2dt2=0 \begin{align*} \Var \left( \left( d W_{t} \right)^{2} \right) =& E \left( \left[ \left( d W_{t} \right)^{2} \right]^{2} \right) - \left[ E \left( \left( d W_{t} \right)^{2} \right) \right]^{2} \\ =& E \left( \left( d W_{t} \right)^{2 \cdot 2} \right) - \left[ dt \right]^{2} \\ =& \left( 2 \cdot 2 - 1 \right) \sqrt{dt}^{2 \cdot 2} - dt^{2} \\ =& 3 dt^{2} - dt^{2} \\ =& 2 dt^{2} \\ =& 0 \end{align*} となる。これによれば (dWt)2\left( d W_{t} \right)^{2} は分散が 00 なのでただの定数であり、期待値が dtdt なので正確に (dWt)2=dt \left( d W_{t} \right)^{2} = dt でなければならない。

要約 1

α+βdt\alpha + \beta dt を二項係数と仮定しよう。 dtdt と dWtd W_{t} の積は次のようになる。 (dt)2=0dtdWt=0dWtdt=0(dWt)2=dt \begin{align*} \left( dt \right)^{2} =& 0 \\ dt d W_{t} =& 0 \\ d W_{t} dt =& 0 \\ \left( d W_{t} \right)^{2} =& dt \end{align*}

  1. Panik. (2017). Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications in Population Dynamics Modeling: p129. ↩︎