📂幾何学

曲面理論における座標変換

定義 ¹

$2$次元のユークリッド空間の$U \subset \mathbb{R}^{2}$が集合だとしよう。$k \in \mathbb{N}$に対して、全単射関数$f : U \to \mathbb{R}^{3}$とその逆関数$f^{-1}$が両方とも$C^{k}$関数である場合、座標変換^{coordinate transformation}と呼ばれる。

説明

座標変換の定義は、一般トポロジーで語られるホメオモルフィズム、ディフェオモルフィズムを思い出させる。ただし、幾何学の文脈で$3$次元空間を扱うために、定義域と値域が特別であることだけが重要である。概念的には、曲線理論での再パラメータ化に相当し、直感的には、定義域で行うように、値域でも微分可能性を保証するための1対1の対応と見なせばよい。

次の定理は、座標変換がどのように行われても単純曲面の正則性が保持されることを示している。

定理

$U , V \subset \mathbb{R}^{2}$が集合だとしよう。単純曲面$\mathbf{x} : U \to \mathbb{R}^{3}$と座標変換$f : V \to U$に対して、$\mathbf{y} = \mathbf{x} \circ f : V \to \mathbb{R}^{3}$は$\mathbf{x}$と同じイメージを持つ単純曲面である。