📂幾何学

曲線の基本定理の証明

定理 ¹

$a,b$ が $0$ を含む区間としよう。そして次が成立するとしよう。

• (i): $\overline{\kappa}(s) > 0$ が $(a,b)$ で $C^{1}$
• (ii): $\overline{\tau}(s)$ が $(a,b)$ で連続
• (iii): $\mathbf{x}_{0}$ が $\mathbb{R}^{3}$ の固定された一点
• (iv): $\left\{ D,E,F \right\}$ が $\mathbb{R}^{3}$ の右手方向正規直交基底

するとパラメータが $\alpha (0)$ からの弦の長さであり、次を満たす $C^{3}$ 正則曲線 $\alpha : (a,b) \to \mathbb{R}^{3}$ が唯一存在する: $$ \begin{align*} \alpha (0) =& \left( \mathbf{x}_{0} \right) \\ T(0) =& D \\ N(0) =& E \\ B(0) =& F \\ \kappa (s) =& \overline{\kappa} (s) \\ \tau (s) =& \overline{\tau} (s) \end{align*} $$

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• $\left\{ T, N, B , \kappa, \tau \right\}$ はフレネ-セレの公式だ。
• $C^{1}$ は導関数が連続である関数の集合である。

説明

曲線の基本定理^{Fundamental Theorem of curve}は、$3$ 次元空間で曲線とは曲率とトーションによって特定できるという強力な定理であり、次のような結果が偶然ではないことを示している。

• $\kappa = 0$ なら直線である。
• $\kappa \ne 0 , \tau = 0$ なら平面曲線である。
• $\kappa / \tau$ が定数なら螺旋である。
• $\tau = 0$ で $\kappa > 0$ が定数なら円である。
• $\tau \ne 0$ が定数で $\kappa > 0$ が定数なら円形螺旋である。

唯一性と存在性を保証する定理という意味で、基本定理という名前は全く惜しくない。

証明

ピカールの定理: 連立1階常微分方程式の初期値問題について、解が唯一存在する。

フレネ-セレの公式: $\alpha$ が $\kappa (s) \ne 0$ である単位スピードカーブとすれば $$ \begin{align*} T^{\prime}(s) =& \kappa (s) N(s) \\ N^{\prime}(s) =& - \kappa (s) T(s) + \tau (s) B(s) \\ B^{\prime}(s) =& - \tau (s) N(s) \end{align*} $$

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$$ \mathbf{u}_{j}^{\prime} = \sum_{i=1}^{3} a_{ij} (s) u_{i} \\ \left( a_{ij} \right) = \begin{bmatrix} 0 & \overline{\kappa} & 0 \\ -\overline{\kappa} & 0 & \overline{\tau} \\ 0 & \overline{\tau} & 0 \end{bmatrix} $$

上記のようなODEシステムを考えると、ピカールの定理に従って次を満たす唯一の解 $\mathbf{u}_{j}(s)$ が存在する。 $$ \begin{align*} \mathbf{u}_{1} (0) =& D \\ \mathbf{u}_{2} (0) =& E \\ \mathbf{u}_{3} (0) =& F \end{align*} $$ 今、解が我々に必要な条件を満たすことを示せばよい。

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Step 1. $\mathbf{u}_{i}(t)$ は正規直交である。

$p_{ij} := \left< \mathbf{u}_{i}, \mathbf{u}_{j} \right>$ とすると $$ \begin{align*} p_{ij}^{\prime} =& \left< \mathbf{u}_{i}^{\prime}, \mathbf{u}_{j} \right> + \left< \mathbf{u}_{i}, \mathbf{u}_{j}^{\prime} \right> \\ =& \left< \sum_{k=1}^{3} a_{ki} \mathbf{u}_{k} , \mathbf{u}_{j} \right> + \left< \mathbf{u}_{i}, \sum_{k=1}^{3} a_{kj} \mathbf{u}_{k} \right> \\ =& \sum_{k=1}^{3} a_{ki} p_{kj} + \sum_{k=1}^{3} a_{kj} p_{ik} \end{align*} $$ したがって $p_{ij}$ はピカールの定理に従って初期値が与えられた微分方程式の唯一の解であり、 $$ p_{ij}^{\prime} = \sum_{k=1}^{3} \left( a_{ki} p_{kj} + a_{kj} p_{ik} \right) $$ より、$t = 0$ においてクロネッカーのデルタ関数 $p_{ij} (0) = \delta_{ij}$ である。一方 $$ \sum_{k=1}^{3} \left( a_{ki} \delta_{kj} + a_{kj} \delta_{} \right) = a_{ji} + a_{ij} = 0 = \delta_{ij}^{\prime} $$ であるので、$\delta_{ij} = p_{ij}$ そのものが上記の微分方程式の唯一の解として存在する。したがって次を得る。 $$ \left< \mathbf{u}_{i} , \mathbf{u}_{j} \right> = \delta_{ij} $$

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Step 2. 単位スピードカーブ$\alpha$の正則性

$$ \alpha (s) := \mathbf{x}_{0} + \int_{0}^{s} \mathbf{u}_{1} (\sigma) d \sigma $$ $s \in (a,b)$ に対して、$\alpha (s)$ を上記のように定義しよう。まず、一次微分すると微積分学の基本定理に従って $$ {{ d \alpha } \over { ds }} = \mathbf{u}_{1} (s) $$ もう一度微分すると、当初考えていた微分方程式により $$ {{ d^{2} \alpha } \over { ds^{2} }} = \mathbf{u}_{1}^{\prime} = \overline{\kappa} \mathbf{u}_{2} $$ 仮定より $\overline{\kappa}$ と $\mathbf{u}_{2}$ は微分可能であるので、もう一度微分すると $$ {{ d^{3} \alpha } \over { ds^{3} }} = \overline{\kappa}^{\prime} \mathbf{u}_{2} + \overline{\kappa} \mathbf{u}_{2}^{\prime} = \overline{\kappa}^{\prime} \mathbf{u}_{2} + \overline{\kappa} \left( -\overline{\kappa} \mathbf{u}_{1} + \overline{\tau} \mathbf{u}_{3} \right) $$ $\overline{\kappa}$ と $\overline{\tau}$ は連続であり、$\mathbf{u}_{i}$ すべて微分可能であるので連続であるため、${{ d^{3} \alpha } \over { ds^{3} }}$ も連続であり、したがって $\alpha$ は $C^{3}$ である。Step 1ですでに $$ \left| {{ d \alpha } \over { ds }} \right| = \left| \mathbf{u}_{1} \right| = 1 $$ であることを示したので、$\alpha$ は単位スピードカーブである。

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Step 3. $\overline{\kappa} = \kappa, \overline{\tau} = \tau, \mathbf{u}_{1} = T, \mathbf{u}_{2} = N, \mathbf{u}_{3} = B$

$\alpha^{\prime} = \mathbf{u}_{1}$ なので当然 $\mathbf{u}_{1} = T$ である。フレネ-セレの公式に従って $$ \kappa N = T^{\prime} = \mathbf{u}_{1}^{\prime} = \overline{\kappa} \mathbf{u}_{2} $$ である。$N$ および $\mathbf{u}_{2}$ が単位ベクトルなので、$\overline{\kappa} > 0$ したがって $\overline{\kappa} = \kappa$ する必要があり、よって $N = \mathbf{u}_{2}$ である。$\left\{ \mathbf{u}_{1} , \mathbf{u}_{2}, \mathbf{u}_{3} \right\}$ は $\mathbb{R}^{3}$ の正規直交基底なので $\left[ \mathbf{u}_{1} , \mathbf{u}_{2}, \mathbf{u}_{3} \right] = \pm 1$ となり、$s = 0$ から $$ \left[ D, E, F \right] = \left[ \mathbf{u}_{1} , \mathbf{u}_{2}, \mathbf{u}_{3} \right] = \pm 1 $$ スカラー三重積 $\left[ \mathbf{u}_{1} , \mathbf{u}_{2}, \mathbf{u}_{3} \right]$ は連続[^2]であるので、実際常に $$ \left[ \mathbf{u}_{1} , \mathbf{u}_{2}, \mathbf{u}_{3} \right] = 1 $$ である。したがって $$ B = T \times N = \mathbf{u}_{1} \times \mathbf{u}_{2} = \mathbf{u}_{3} $$ である。最後に、もう一度フレネ-セレの公式に従って $$ -\tau N = B^{\prime} = \mathbf{u}_{3}^{\prime} = - \overline{\tau} \mathbf{u}_{2} $$ なので$N = \mathbf{u}_{2}$ を得る。

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