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複素関数の極限 📂複素解析

複素関数の極限

定義 1

関数 f:C→Cf : \mathbb{C} \to \mathbb{C} が開集合 A⊂CA \subset \mathbb{C} で定義された複素関数 f:A→Cf : A \to \mathbb{C} であり、α∈A‾\alpha \in \overline{A} とする。f(z)f(z) が z→αz \to \alpha の時に 極限limit ll に収束するとは、あらゆる ε>0\varepsilon > 0 に対して 0<∣z−α∣<δ  ⟹  ∣f(z)−l∣<ε 0 < \left| z - \alpha \right| < \delta \implies \left| f(z) - l \right| < \varepsilon を満たす δ>0\delta > 0 が存在することであり、以下のように表される。 lim⁡z→αf(z)=l \lim_{z \to \alpha} f(z) = l

性質

lim⁡z→αf(z)\lim_{z \to \alpha} f(z) と lim⁡z→αg(z)\lim_{z \to \alpha} g(z) が存在するとする。

  • 一意性: lim⁡z→αf(z)\displaystyle \lim_{z \to \alpha} f(z) が存在するならば、それは唯一である。
  • 共役: lim⁡z→αz‾=α‾\lim_{z \to \alpha} \overline{z} = \overline{\alpha}
  • 定数倍: あらゆる k∈Ck \in \mathbb{C} に対して lim⁡z→αkf(z)=klim⁡z→αf(z) \lim_{z \to \alpha} k f(z) = k \lim_{z \to \alpha} f(z)
  • 加法: lim⁡z→α[f(z)+g(z)]=lim⁡z→αf(z)+lim⁡z→αg(z)\lim_{z \to \alpha} \left[ f(z) + g(z) \right] = \lim_{z \to \alpha} f(z) + \lim_{z \to \alpha} g(z)
  • 乗法: lim⁡z→αf(z)g(z)=lim⁡z→αf(z)lim⁡z→αg(z)\lim_{z \to \alpha} f(z) g(z) = \lim_{z \to \alpha} f(z) \lim_{z \to \alpha} g(z)
  • 除法: lim⁡z→αg(z)≠0\displaystyle \lim_{z \to \alpha} g(z) \ne 0 の時のみ、 lim⁡z→αf(x)g(x)=lim⁡z→αf(z)lim⁡z→αg(z)\lim_{z \to \alpha} {{ f(x) } \over { g(x) }} = {{ \lim_{z \to \alpha} f(z) } \over { \lim_{z \to \alpha} g(z) }}

説明

定義で α\alpha は特に ff の定義域に属する必要はなかったし、l=f(α)l = f(\alpha) と言ったこともないことに注意。

実数値関数real Valued functionと複素数関数complex Valued functionの違いは方向性にある。R\mathbb{R} から x→ax \to a へとは aa の両側から近づく感じだが、C\mathbb{C} から z→αz \to \alpha への接近は、複素平面 上で全方位から近づく感じである。

  1. Osborne (1999). Complex variables and their applications: p37. ↩︎