📂幾何学

弦の定義

定義 ¹

1. 曲線 $\alpha : (c,d) \to \mathbb{R}^{3}$ が与えられたとする。$c < a < b < d$ ならば、全ての $t \in [a,b]$ について $\alpha (t) = \gamma (t)$ を満たす $\gamma : [a,b] \to \mathbb{R}^{3}$ を弦または曲線の断片と呼ぶ。
2. 弦 $\gamma : [a,b] \to \mathbb{R}^{3}$ の長さ $l_{[a,b]}(\gamma)$ は以下のように定義される。 $$ l_{[a,b]}(\gamma) := \int_{a}^{b} \left| {{ d \gamma } \over { d t }} \right| dt $$
3. $s = h(t)$ によって定義される 円弧の長さは、$\alpha$ に従って次のように定義される。 $$ h(t) := \int_{t_{0}}^{t} \left| {{ d \alpha } \over { dt }} \right| dt $$

説明

定義において、曲線の断片 $\gamma$ は自然に $\alpha$ の一部として定義され、その長さの定義も ジャコビアン の概念から明らかである。円弧の長さというのは、私たちが関心を持っている区間 $\left[ t, t_{0} \right]$ でわざわざ弦を再定義して長さを議論する面倒を避けるために考えられたものであると見ることができる。

円弧の長さの再パラメータ化

特に、関数 $h$ は 再パラメータ化 そのものであり、$g: (c,d) \to (a,b)$ と $\displaystyle h(t) = \int_{t_{0}}^{t} \left| {{ d \alpha } \over { du }} \right| du$ について次を満たす場合、円弧の長さの再パラメータ化と言われる。 $$ g(s) = h^{-1} (s) $$ これはよく知られている変数置換に過ぎない。では、なぜこれを使うのかを見てみよう。 $$ \begin{align*} \beta =& \alpha \circ g \\ =& \alpha \circ h^{-1} \end{align*} $$ とすると $\alpha = \beta \circ h$ であり、$h$ が増加関数であるから $\left| h^{\prime} \right| = h^{\prime}$ なので $$ \begin{align*} s =& \int_{t_{0}}^{t} \left| \alpha^{\prime} (u) \right| du \\ =& \int_{t_{0}}^{t} \left| \left( \beta \circ h \right)^{\prime} \right| du \\ =& \int_{t_{0}}^{t} \left| \left( \beta^{\prime} \circ h \right) \right| h^{\prime}(u) du \\ =& \int_{0}^{s} \left| \beta^{\prime} (v) \right| dv \end{align*} $$ 両辺を $s$ について微分すると、微積分学の基本定理により $$ 1 = \left| \beta^{\prime} (s) \right| $$ つまり、スピードは $1$ で一定になり扱いやすくなる。

また、以下の定理から、曲線の再パラメータ化が曲線の長さを変えないことがわかる。$g$ が $(c,d)$ だけ移動すると、$\alpha$ が $(a,b)$ だけ移動するので、これは明らかなことである。比喩すれば、出発地から目的地までの経路は同じであり、移動手段が変わっただけで移動距離は変わらず、速度だけが変わることになる。

定理

再パラメータ化において、弦の長さは不変である。

証明

弦 $\alpha$ と再パラメータ化 $g : [c,d] \to [a,b]$ について、$\beta := \alpha \circ g$ と仮定すると、$\beta$ の長さは次のようになる。 $$ \begin{align*} \int_{c}^{d} \left| {{ d \beta } \over { d t }} \right| dr =& \int_{c}^{d} \left| \left( {{ d \alpha } \over { d t }} \right) \left( {{ d g } \over { d r }} \right) \right| dr \\ =& \int_{c}^{d} \left| {{ d \alpha } \over { d t }} \right| \left| {{ d g } \over { d r }} \right| dr \end{align*} $$

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ケース 1. $g$ が増加関数の場合

$g(c) = a, g(d) = b$ かつ $\left| {{ d g } \over { d r }} \right| = {{ d g } \over { d r }}$ であるため、 $$ \begin{align*} \int_{c}^{d} \left| {{ d \alpha } \over { d t }} \right| \left| {{ d g } \over { d r }} \right| dr =& \int_{c}^{d} \left| {{ d \alpha } \over { d t }} \right| {{ d g } \over { d r }} dr \\ =& \int_{c}^{d} \left| {{ d \alpha } \over { d t }} \right| d g \\ =& \int_{a}^{b} \left| {{ d \alpha } \over { d t }} \right| d t \end{align*} $$

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ケース 2. $g$ が減少関数の場合

$g(c) = b, g(d) = a$ かつ $\left| {{ d g } \over { d r }} \right| = - {{ d g } \over { d r }}$ であるため、 $$ \begin{align*} \int_{c}^{d} \left| {{ d \alpha } \over { d t }} \right| \left| {{ d g } \over { d r }} \right| dr =& \int_{c}^{d} \left| {{ d \alpha } \over { d t }} \right| \left( - {{ d g } \over { d r }} \right) dr \\ =& - \int_{c}^{d} \left| {{ d \alpha } \over { d t }} \right| d g \\ =& - \int_{b}^{a} \left| {{ d \alpha } \over { d t }} \right| d t \\ =& \int_{a}^{b} \left| {{ d \alpha } \over { d t }} \right| d t \end{align*} $$

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よって、$g$ が増加関数であろうと減少関数であろうと、弦の長さは一定である。

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